Función implícita
¿Cómo estas? Me registre hace poco así que soy un novato en "todoexperto"...
Quería hacerte una consulta, ya que en pocos días tengo un parcial de Análisis Matemático II en la UBA, y hay un tema en el que me encuentro bastante perdido y es "Función Implícita". Hay ejercicios que me lo mezclan con Regla de la Cadena, y no se por donde empezar. Por su puesto sin ser muy profundo, porque es un tema extenso, pero me podrías orientar un poco en el tema, me seria de mucha ayuda...
Quería hacerte una consulta, ya que en pocos días tengo un parcial de Análisis Matemático II en la UBA, y hay un tema en el que me encuentro bastante perdido y es "Función Implícita". Hay ejercicios que me lo mezclan con Regla de la Cadena, y no se por donde empezar. Por su puesto sin ser muy profundo, porque es un tema extenso, pero me podrías orientar un poco en el tema, me seria de mucha ayuda...
Respuesta de eudemo
1
Comencemos con un ejemplo sencillo
La función y = 5 x^2 la puedo poner en forma implícita escribiendo :
y- 5 x^2 =0
Fíjate como ahora tengo un función de dos variables, (que llamaré h) igualada a cero h(x, y) = y- 5 x^2 =0
h(x,y)=0 define implícitamente a la función y = f(x) = 5 x^2 .
Esto parece un poco tonto ya que si me dan y- 5 x^2 =0 yo puedo despejar y poner y = 5 x^2, ¿pero hay casos que no es tan fácil? ¿Despejar? Y poner y en función de x en forma explicita. ¿Por ejemplo y^3? 7 y^2 x^2+ 3 x y=0
Un poco de teoría:
La pregunta que responde la teoría es si siempre una h(x,y)=0 define una y=f(x). Hablando mal es como si me planteara si dada una h(x, ¿y)=0? ¿Podré o no despejar y?
El Teorema de la Función Implícita da las condiciones para que y = f(x) quede definida y dice que si pero e yo cumplen f( pero ; yo)=0 y la derivada parcial de f con respecto y en (xo;yo) es distinta de cero, entonces existe una única y=f(x)en un entorno de pero.(Ojo, el teorema me garantiza la existencia de la función pero solo en un entorno de pero).
La cosa se pone más movida con funciones de más variables.
Por ejemplo h(x,y,z)=0 puede definir una z=f(x;y).
En general h(x1,x2,x3....,xn)=0 puede definir una xn=f(x1,x2,x3...xn-1)
-----------------------------
Pero en los ejercicios seguramente tendrás que aplicar la derivación implícita para hallar la derivada, y eso se resuelve aplicando en cada caso la regla de la cadena. Ejemplo si tenemos:
y^3 ? 7 y^2 x^2+ 3 x y=0
Lo que se hace es derivar con respecto a x .
Vamos a derivar cada termino
¿Cuál es la derivada de y^3 con respecto a x?
La derivada de y^3 con respecto a y es 3 y^2.
La derivada de con respecto a x es d(y^3 )/dy .dy/dx= 3 y^2 .y´
------------------------------
¿Cuál es la derivada de 7 y^2 x^2 con respecto a x?
La derivada de 7 y^2 x^2 (derivada de un producto) es
7 y^2 dx^2/dx + 7 dy^2/dx x^2=
= 7 y^2 2 x + 7 dy^2/dx .dy/dx x^2=
=7 y^2 2 x + 7 2 y . y´ x^2
---------------------------
Análogamente
d(xy)/dx= y + x y´
------------------------------
Entonces la derivada de y^3 ? 7 y^2 x^2+ 3 x e igualada a cero es
3 y^2 .y´ +7 y^2 2 x + 7 2 y . y´ x^2 + y + x y´=0
y de aquí puedo despejar dy/dx=y´
3 y^2 .y´ + 14 y . y´ x^2+ x y´=-7 y^2 2 x ?y
(3 y^2 + 14 x^2+ x) y´=-7 y^2 2 x ?y
y´=(-7 y^2 2 x ?y) /(3 y^2 + 14 x^2+ x)
Esta expresión nos da la derivada de y con respecto a x, no en función de x solamente sino en función de x e y .
Veamos el caso de una circunferencia
y^2+x^2= 9
2 y y´+2 x =0
y´=- x/y
Resulta que la función solo existe para x entre -3 y 3 y tiene dos ramas, pero en cada una de las ramas se cumple que la derivada es igual a ?x/y .
(Comentario al margen : esta derivada expresada en función de x e y es una ecuación diferencial)
Con la función inversa tenemos el mismo caso
Si v=f(w) entonces puede ponerse en forma implícita
h(v,w)= v-f(w)=0
y esta función implícita puede definir una w= g(v)
Aquí la función g es la inversa de f .
Veamos la derivada
Derivando v-f(w)=0 con respecto a v es
dv/dv - d f(w)/dv =0
1 - d f(w)/dw .dw/dv=0
1-f´(w) dw/dv=0
y resulta que
dw/dv=1/ f´(w)
Es decir que la derivada de la función inversa es la inversa de la derivada de la función directa.
----------------------------
Si tenés dificultades con algún ejercicio en particular me preguntas.
Mucha suerte
Eudemo
La función y = 5 x^2 la puedo poner en forma implícita escribiendo :
y- 5 x^2 =0
Fíjate como ahora tengo un función de dos variables, (que llamaré h) igualada a cero h(x, y) = y- 5 x^2 =0
h(x,y)=0 define implícitamente a la función y = f(x) = 5 x^2 .
Esto parece un poco tonto ya que si me dan y- 5 x^2 =0 yo puedo despejar y poner y = 5 x^2, ¿pero hay casos que no es tan fácil? ¿Despejar? Y poner y en función de x en forma explicita. ¿Por ejemplo y^3? 7 y^2 x^2+ 3 x y=0
Un poco de teoría:
La pregunta que responde la teoría es si siempre una h(x,y)=0 define una y=f(x). Hablando mal es como si me planteara si dada una h(x, ¿y)=0? ¿Podré o no despejar y?
El Teorema de la Función Implícita da las condiciones para que y = f(x) quede definida y dice que si pero e yo cumplen f( pero ; yo)=0 y la derivada parcial de f con respecto y en (xo;yo) es distinta de cero, entonces existe una única y=f(x)en un entorno de pero.(Ojo, el teorema me garantiza la existencia de la función pero solo en un entorno de pero).
La cosa se pone más movida con funciones de más variables.
Por ejemplo h(x,y,z)=0 puede definir una z=f(x;y).
En general h(x1,x2,x3....,xn)=0 puede definir una xn=f(x1,x2,x3...xn-1)
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Pero en los ejercicios seguramente tendrás que aplicar la derivación implícita para hallar la derivada, y eso se resuelve aplicando en cada caso la regla de la cadena. Ejemplo si tenemos:
y^3 ? 7 y^2 x^2+ 3 x y=0
Lo que se hace es derivar con respecto a x .
Vamos a derivar cada termino
¿Cuál es la derivada de y^3 con respecto a x?
La derivada de y^3 con respecto a y es 3 y^2.
La derivada de con respecto a x es d(y^3 )/dy .dy/dx= 3 y^2 .y´
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¿Cuál es la derivada de 7 y^2 x^2 con respecto a x?
La derivada de 7 y^2 x^2 (derivada de un producto) es
7 y^2 dx^2/dx + 7 dy^2/dx x^2=
= 7 y^2 2 x + 7 dy^2/dx .dy/dx x^2=
=7 y^2 2 x + 7 2 y . y´ x^2
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Análogamente
d(xy)/dx= y + x y´
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Entonces la derivada de y^3 ? 7 y^2 x^2+ 3 x e igualada a cero es
3 y^2 .y´ +7 y^2 2 x + 7 2 y . y´ x^2 + y + x y´=0
y de aquí puedo despejar dy/dx=y´
3 y^2 .y´ + 14 y . y´ x^2+ x y´=-7 y^2 2 x ?y
(3 y^2 + 14 x^2+ x) y´=-7 y^2 2 x ?y
y´=(-7 y^2 2 x ?y) /(3 y^2 + 14 x^2+ x)
Esta expresión nos da la derivada de y con respecto a x, no en función de x solamente sino en función de x e y .
Veamos el caso de una circunferencia
y^2+x^2= 9
2 y y´+2 x =0
y´=- x/y
Resulta que la función solo existe para x entre -3 y 3 y tiene dos ramas, pero en cada una de las ramas se cumple que la derivada es igual a ?x/y .
(Comentario al margen : esta derivada expresada en función de x e y es una ecuación diferencial)
Con la función inversa tenemos el mismo caso
Si v=f(w) entonces puede ponerse en forma implícita
h(v,w)= v-f(w)=0
y esta función implícita puede definir una w= g(v)
Aquí la función g es la inversa de f .
Veamos la derivada
Derivando v-f(w)=0 con respecto a v es
dv/dv - d f(w)/dv =0
1 - d f(w)/dw .dw/dv=0
1-f´(w) dw/dv=0
y resulta que
dw/dv=1/ f´(w)
Es decir que la derivada de la función inversa es la inversa de la derivada de la función directa.
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Si tenés dificultades con algún ejercicio en particular me preguntas.
Mucha suerte
Eudemo
