Calcular la integral sec x dx

La secante es la función 1/cosx

$$\begin{align}&\int \frac {dx}{cosx}=\\ &\\ &t=senx\\ &\\ &dt=cosx dx \implies \\ &\\ &dx=\frac{dt}{cosx}=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\\ &\\ &=\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2} \sqrt{1-t^2}}=\int \frac{dt}{1-t^2}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{dt}{(1+t)(1-t)}=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}\right)dt=\\ &\\ &\\ &a-at+b+bt = 1\\ &(b-a)t+a+b=1\\ &\\ &b-a=0\\ &a+b=1\\ &-----\\ &2b=1\\ &b= \frac 12\\ &a=\frac 12\\ &\\ &\\ &=\frac 12\int \frac{dt}{1+t}+\frac 12 \int \frac{dt}{1-t}=\\ &\\ &\frac 12(ln|1+t|-ln|1-t|) =\\ &\\ &\frac 12 (ln|1+senx|-ln|1-senx|)\end{align}$$

Y eso es todo. Es medio imposible meter comentarios en el editor de ecuaciones, si no entendiste algo pregúntalo. Puede que el método de resolución de integrales raciónales que te hayan enseñado no coincida con el que he usado de resolver por ecuaciones.