Acceleración

Se conoce que para un proyectil, que describe un movimiento parabóliv}co, en cierto instante At está disminuyendo y An está aumentadndo . En dicho instante, ¿la rapidez de la partícula está aumentando o disminuyendo?

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Respuesta
1
Eso no ocurrirá nunca en un tiro parabólico.
Examinemos las definiciones: la aceleración tangencial es la derivada del módulo de la velocidad respecto al tiempo, o sea la derivada de la rapidez respecto al tiempo:
at=d|V|/dt
Esto quiere decir que la variación de la rapidez nos la proporciona el signo de at, de forma que
At>0 --->La rapidez aumenta
At<0 --->La rapidez disminuye.
Es decir, lo que nos importa es el signo de at, no el hecho que aumente o disminuya ( ésto nos proporcionaría el hecho de si aumenta más rápidamente o más lentamente).
Además la at tiene como dirección la de la trayectoria.
En un movimiento parabólico, las velocidades son
Vx=Vo*[email protected]
Vy=Vo*[email protected]*t
Con lo que el módulo será
|V|=raiz[Vx^2+Vy^2]=
|V|=raiz[Vo^2*cos^[email protected]+(Vo*[email protected]*t)^2]
|V|=raiz[Vo^2*cos^[email protected]+Vo^2*sen^[email protected]+g^2*t^2-2*Vo*[email protected]*g*t]
Y como sen^[email protected]+cos^[email protected]=1
|V|=raiz[Vo^2+g^2*t^2-2*Vo*[email protected]*g*t]
Y su derivada será
at=1/[2*raiz[Vo^2+g^2*t^2-2*Vo*[email protected]*t]*_(2*g^2*t-2*Vo*[email protected]*g)
at=[g^2*t-Vo*[email protected]*g]/raiz[Vo^2+g^2*t^2-2*Vo*[email protected]*g*t]
Y si calculamos en qué instante es cero
at=0
=[g^2*t-Vo*[email protected]*g]/raiz[Vo^2+g^2*t^2-2*Vo*[email protected]*g*t]=0
g^2*t-Vo*[email protected]*g=0
g*t=Vo*[email protected]
t=Vo*[email protected]/g
Que se corresponde a mitad de camino, es decir
t<Vo*[email protected]/g--->at<0-->rapidez disminuye
t>Vo*[email protected]/g--->at>0-->rapidez aumenta
Esto es lógico, hasta que llega arriba el cuerpo va frenando, y a partir de ahí empieza a aumentar su rapidez.
Ahora bien, si dibujamos la gráfica at en función del tiempo, vemos que esta está siempre aumentando ( esa función no tiene ningún punto que anule la derivada de at, siendo at'>0-->creciente.
El valor de at pasa de
t=0
at=-Vo*[email protected]*g/raiz[Vo^2]
at=-Vo*[email protected]*g/Vo
at=-g*[email protected]
t=Vo*[email protected]/g (a mitad de camino)
at=(g^2*Vo*[email protected]/g-Vo*[email protected]*g)/raiz[Vo^2-2*Vo*[email protected]*g*Vo*[email protected]/g+g^2*Vo^2*sen^[email protected]/g^2]
at=(Vo*[email protected]*g-Vo*[email protected]*g)/raiz[Vo^2-2*Vo^2*sen^[email protected]+Vo^2*sen^[email protected]]
at=0
t=2*Vo*[email protected]/g (en el suelo)
at=(g^2*2*Vo*[email protected]/g-Vo*[email protected]*g)/raiz[Vo^2-2*Vo*[email protected]*g*2*Vo*[email protected]/g+g^2*4*Vo^2*sen^[email protected]/g^2]
at=(2*Vo*[email protected]*g-Vo*[email protected]*g)/raiz[Vo^2-4*Vo^2*sen^[email protected]+4*Vo^2*sen^[email protected]]
at=Vo*[email protected]*g/raiz[Vo^2]
at=Vo*[email protected]*g/Vo
at=g*[email protected]
Es decir, at crece desde -g*[email protected] hasta g*[email protected], pero siempre creciendo.
Conceptualmente esto es lógico:
At tiene la dirección de la trayectoria, y la aceleración total hacia abajo.
Inicialmente la trayectoria es muy vertical, y al ser la aceleración hacia abajo en vertical y la tangencial hacia arriba con la dirección de la trayectoria, la at es muy negativa.
Luego aumenta y se hace menos negativa hasta llegar a cero arriba del todo.
Al bajar, la at sigue creciendo y se hace positiva, de forma que la at se va acercando a la a total.
Resumiendo at está creciendo siempre, pero hasta mitad del camino es negativa (la rapidez disminuye), y a partir de ahí es positiva ( la rapidez aumenta)

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