Cinemática 1
Las componentes de la aceleración de un punto son ax = -a, ay = a, az
= 0, siendo a>0. La velocidad vo inicial tiene la dirección y sentido del semieje positivo OX, siendo la posición en dicho instante la del origen de coordenadas. Determinar el instante en el cual es mínima la velocidad, así como el valor de esta.
Sol:t=vo/2a vm=voraiz2/2
= 0, siendo a>0. La velocidad vo inicial tiene la dirección y sentido del semieje positivo OX, siendo la posición en dicho instante la del origen de coordenadas. Determinar el instante en el cual es mínima la velocidad, así como el valor de esta.
Sol:t=vo/2a vm=voraiz2/2
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Respuesta de mikel1970
1
Definimos la aceleración como la derivada de la velocidad, de forma que vectorialmente:
a=dV/dt
Esta ecuación vectorial implica dos ecuaciones escalares en el planp XY( Obviamos el eje Z pues ahí no hay movimiento, al ser Voz=0; az=0)
ax=dVx/dt=-a
ay=dVy/dt=a
Despejando e integrando
dVx/dt=-a
dVx=-a*dt
Int[dVx]=Int[-a*dt]
Vx-Vox=-a*t
Y como Vox=Vo
Vx=Vo-a*t
En el eje Y, haciendo Voy=0
dVy/dt=a
dVy=a*dt
Int[dVy]=Int[a*dt]
Vy-Vyo=a*t
Vy=Voy+a*t=a*t
Es decir
Vx=Vo-a*t
Vy=a*t
La velocidad en módulo será
V=raiz[Vx^2+Vy^2]
V=raiz[(Vo-a*t)^2+(a*t)^2]
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*t+a^2*t^2+a^2*t^2]
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*t+2*a^2*t^2]
Y esta velocidad será mínima cuando su derivada valga cero, o sea
dV/dt=[-2*Vo*a+4*a^2*t]/[2*raiz(Vo^2-2*Vo*a*t+2*a^2*t^2)]=0
-2*Vo*a+4*a^2*t=0
4*a^2*t=2*Vo*a
2*a*t=Vo
Luego el instante en que la velocidad será mínima será en
t=Vo/(2*a)
En ese tiempo la velocidad será:
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*t+2*a^2*t^2]
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*Vo/(2*a)+2*a^2*Vo^2/(4*a^2)]
V=raiz[Vo^2-Vo^2+Vo^2/2]
V=raiz[Vo^2/2]
V=Vo*raiz[1/2]
Racionalizando
raiz[1/2]=raiz[1/2]*raiz[2]/raiz[2]=raiz[2]/2
Luego la velocidad mínima es
Vm=Vo*raiz[2]/2
a=dV/dt
Esta ecuación vectorial implica dos ecuaciones escalares en el planp XY( Obviamos el eje Z pues ahí no hay movimiento, al ser Voz=0; az=0)
ax=dVx/dt=-a
ay=dVy/dt=a
Despejando e integrando
dVx/dt=-a
dVx=-a*dt
Int[dVx]=Int[-a*dt]
Vx-Vox=-a*t
Y como Vox=Vo
Vx=Vo-a*t
En el eje Y, haciendo Voy=0
dVy/dt=a
dVy=a*dt
Int[dVy]=Int[a*dt]
Vy-Vyo=a*t
Vy=Voy+a*t=a*t
Es decir
Vx=Vo-a*t
Vy=a*t
La velocidad en módulo será
V=raiz[Vx^2+Vy^2]
V=raiz[(Vo-a*t)^2+(a*t)^2]
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*t+a^2*t^2+a^2*t^2]
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*t+2*a^2*t^2]
Y esta velocidad será mínima cuando su derivada valga cero, o sea
dV/dt=[-2*Vo*a+4*a^2*t]/[2*raiz(Vo^2-2*Vo*a*t+2*a^2*t^2)]=0
-2*Vo*a+4*a^2*t=0
4*a^2*t=2*Vo*a
2*a*t=Vo
Luego el instante en que la velocidad será mínima será en
t=Vo/(2*a)
En ese tiempo la velocidad será:
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*t+2*a^2*t^2]
V=raiz[Vo^2-2*Vo*a*Vo/(2*a)+2*a^2*Vo^2/(4*a^2)]
V=raiz[Vo^2-Vo^2+Vo^2/2]
V=raiz[Vo^2/2]
V=Vo*raiz[1/2]
Racionalizando
raiz[1/2]=raiz[1/2]*raiz[2]/raiz[2]=raiz[2]/2
Luego la velocidad mínima es
Vm=Vo*raiz[2]/2
