Péndulo

(a) Este problema se resuelve utilizando el principio de la conservación de la energía mecánica total. La energía mecánica total es la suma de la energía cinética y la energía potencial y debe permanecer constante. Esto quiere decir que si la energía cinética es máxima en un punto entonces su energía potencial es mínima y viceversa.
Él punto más bajo de la trayectoria circular es el punto en que la energía potencial es mínima; si tomamos en él el origen de ordenadas entonces ese valor es nulo; luego además en ese punto la energía total es toda energía cinética. Llamemos v1 a la velocidad en ese punto.
Et = (1/2)mv1^2
Como la energía total es constante, ese valor será el mismo valor de energía total que tenga la lenteja, por ejemplo, en el punto más alto de la trayectoria. Ahí arriba la energía total vale:
Et = 2mgL + (1/2)mv2^2
Siendo v2 la velocidad en ese otro punto; 2mgL es la energía potencial (ese punto está a una altura 2L) y (1/2)mv2^2 es la energía cinética en ese punto más alto.
Ahora bien, podemos conocer v2 porque en el punto más alto, la fuerza centrípeta es exactamente el peso:
(1/L)mv2^2 = mg
luego: v2^2 = g.L y sustituyendo en Et:
Et = 2mgL + (1/2)mgL
Sólo queda igualar la Ec (que coincide con la energía total) en el punto 1 (el más bajo) y la energía total en el punto 2 (el más alto):
Ec,max = (1/2)mv1^2 = 2mgL + (1/2)mgL
Operando: Ec,max = (5/2)mgL
(b) En este punto, la tensión de la cuerda tiene que compensar el peso de la lenteja (mg), además de generar la fuerza centrípeta necesaria para mantener la lenteja en la trayectoria circular (1/L)mv1^2. V1 se puede obtener del apartado anterior:
(1/2)mv1^2 = (5/2)mgl
v1^2 = 5gL
De donde se deduce que la fuerza centrípeta vale, en ese punto, 5mg.
Si ahora le sumamos el peso de la lenteja, mg, resulta que la tensión de la cuerda vale:
T = 6mg.