Sobre momentos de inercia
Tengo un problema en el calculo del momento de inercia de una esfera hueca utilizando coordenadas cartesianas espero que alguien pueda ayudarme
Gracias anticipadas
Gracias anticipadas
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Respuesta de hiperion
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Como no sé si conocerás las siguientes propiedades te las enuncio:
Momento de inercia I = integral( r^2dm)
Donde r puede ser la distancia a un plano, a un eje o a un punto. Y tendríamos respectivamente el momento de inercia respecto de un plano, un eje o un punto.
Supongo que el que tú quieres hallar es el mdi respecto de un eje (el habitual).
Se cumple que:
Ie = I1 + I2 donde Ie es el mdi respecto de un eje y I1, I2 son los mdi respecto de dos planos perpendiculares cuya intesección es el eje.
Ip= I1 + Ie donde Ip es el mdi respecto de un punto y I1 e Ie son los mdi respecto de un plano y de un eje perpendiculares cuya intersección es el punto.
Estas herramientas son muy útiles como ahora verás.
Suponiendo que tu esfera tiene espesor despreciable:
El mdi de tu esfera con respecto al centro de la esfera sería simplemente MR^2, ¿no? Si tomamos 3 planos perpendiculares que se corten en el centro de la esfera tendremos que:
MR^2= I1 + I2 + I3. Y por la simetría de la esfera tenemos que I1=I2=I3, por lo tanto I1= 1/3 MR^2 y te recuerdo q es el mdi respecto de un plano q pasa por el centro de la esfera. Entonces el mdi respecto de un eje sería:
Ie= 2I1 = 2/3 MR^2 .
Todo esto suponiendo que la esfera tiene espesor nulo. Si no lo fuese y tuviésemos radio interior= R1, radio exterior = R2 Haríamos exactamente lo mismo excepto el cálculo del mdi respecto al centro de la esfera, que sería:
Ip = integral( r^2 (rho) 4 pi r^2dr) desde R1 hasta R2, donde rho es la densidad.
Entonces Ip = 4/5 pi rho (R1^5-R2^5)
Y repitiendo todo el proceso de antes llegaríamos a que
Ie= 2/5 M (R2^5-R1^5)/(R2^3-R1^3)
Espero haber resuelto tu duda, si no es así no dudes en volver a preguntar.
Momento de inercia I = integral( r^2dm)
Donde r puede ser la distancia a un plano, a un eje o a un punto. Y tendríamos respectivamente el momento de inercia respecto de un plano, un eje o un punto.
Supongo que el que tú quieres hallar es el mdi respecto de un eje (el habitual).
Se cumple que:
Ie = I1 + I2 donde Ie es el mdi respecto de un eje y I1, I2 son los mdi respecto de dos planos perpendiculares cuya intesección es el eje.
Ip= I1 + Ie donde Ip es el mdi respecto de un punto y I1 e Ie son los mdi respecto de un plano y de un eje perpendiculares cuya intersección es el punto.
Estas herramientas son muy útiles como ahora verás.
Suponiendo que tu esfera tiene espesor despreciable:
El mdi de tu esfera con respecto al centro de la esfera sería simplemente MR^2, ¿no? Si tomamos 3 planos perpendiculares que se corten en el centro de la esfera tendremos que:
MR^2= I1 + I2 + I3. Y por la simetría de la esfera tenemos que I1=I2=I3, por lo tanto I1= 1/3 MR^2 y te recuerdo q es el mdi respecto de un plano q pasa por el centro de la esfera. Entonces el mdi respecto de un eje sería:
Ie= 2I1 = 2/3 MR^2 .
Todo esto suponiendo que la esfera tiene espesor nulo. Si no lo fuese y tuviésemos radio interior= R1, radio exterior = R2 Haríamos exactamente lo mismo excepto el cálculo del mdi respecto al centro de la esfera, que sería:
Ip = integral( r^2 (rho) 4 pi r^2dr) desde R1 hasta R2, donde rho es la densidad.
Entonces Ip = 4/5 pi rho (R1^5-R2^5)
Y repitiendo todo el proceso de antes llegaríamos a que
Ie= 2/5 M (R2^5-R1^5)/(R2^3-R1^3)
Espero haber resuelto tu duda, si no es así no dudes en volver a preguntar.
