Cambio de titularidad y prever

Voy a comprarme un coche nuevo. Quiero acogerme al plan prever con mi coche antiguo, el problema es que está a nombre de mi madre. Lo primero que he hecho es ir a tráfico para poner el coche de mi madre a mi nombre y así poder acogerme al plan prever. Allí me han dicho que ese coche tenía reserva de dominio de la financiera, así que he procedido a pedir la carta de pago a la financiera que llevaré al registro mercantil para cancelar la reserva de registro. La primera pregunta es: ¿Cuánto tardará en llegarme la carta de pago? ¿Con ella en mano, la cancelación de reserva de dominio será instantánea? Y sobretodo, la pregunta que me interesa: Cuando lleve todos los papeles a tráfico: ¿Tiene qué pasar un tiempo para poderlo dar de baja y acogerme al plan prever o lo puedo hacer el mismo día? ¿Tardan en tramitar el cambio de titularidad? Tengo el coche nuevo en el concesionario esperándome...