Función Hiperbólica - Hallar ecuación con datos!

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¡Hola Sol!

Si la hipérbola tiene los focos en horizontal lo que le falta al dominio natural es un intervalo no solo un número como pone ahí.

Luego debe tener una inclinación de 45º, con lo cual en x=-1 tendrá una asíntota vertical. Y la otra asíntota tiene que ser horizontal con valor -4.

La verdad es que yo conozco las ecuaciones canónicas de las hipérbolas con focos paralelos al eje X o al eje Y, pero las que están inclinadas no conozco su ecuación canónica, pero voy a intentarlo. Partimos de la hipérbola y=1/x que es la típica con una asíntota horizontal y otra vertical.

Para que la vertical sea en x=-1 haremos y=1/(x+1)

ese es desplazarla una unidad a la izquierda

Y para que el límite en infinito sea -4 hacemos y=-4 + 1/(x+1) 

que ha sido bajar la hipérbola 4 unidades.

Y para tenga una raíz en x=1  deberemos poner 8 en el numerador

y = -4 + 8/(x+1)

ya que entonces para x=1 se cumple

y = -4 +8/(1+1) = -4 + 8/2 = -4+4 = 0

Luego la hipérbola es:

y = (-4x-4+8)/(x+1)

y = (-4x+4)/(x+1)

Lo comprobamos con la gráfica:

Cumple todo lo que pedían, está bien.

Y eso es todo, saludos.

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;)
Hola Sol María

La fracción algebraica con dos polinomios de primer grado, da una hipérbola.

Atendiendo al dominio y al límite sería de la forma:

$$\begin{align}&f(x)=\frac{-4x+k}{x+1}\\&\\&f(1)=0\\&-4+k=0\\&k=4\\&\\&f(x)=\frac{-4x+4}{x+1}\end{align}$$

saludos

;)

;)