A) Sea p primo. Probar que ( p,(p-1)!) =1 B) Sea n natural probar ( 2^n + 5^ n+1 , 2^ n+1 +5 ^n) = 3 ó 9

1)

(p-1)! Es producto de todos los números desde 1 hasta (p-1) luego sus factores primos serán esos mismos en caso de ser factores primos u otros menores que p-1.

Por ejemplo 6! = 6·5·4·3·2·1 tiene los factores primos 5,3,2 que son primos y luego el 4 que añade un 2^2 y el 6 que añade un 2·3

5! = 2^4·3^2·5

Mientras que p por ser primo sus factores primos son él mismo.

Como p es mayor que los factores primos de (p-1)! No es factor primo de (p-1)! Y le máximo común divisor es 1.

·

2)

Vale, los exponentes si tienen varios términos deben ir entre paréntesis si no no se sabe donde terminan.

Confírmame si quieres decir esto:

$$\begin{align}&2^n+5^{n+1}, 2^{n+1}+5^n\\&\\&\end{align}$$

Buenas tardes profe Valero: Entendí perfecto el primer ejercicio !.( Muchas gracias)

Y con respecto al segundo: si efectivamente quiero decir eso. Por favor aguardo su respuesta para el punto B.

Un abrazo

No es tan fácil. Sabemos que

(a, b) = (a-b, b)

que si lo aplicamos n veces es

(a, b) = (a-nb, b)

(2^n + 5^(n+1),   2^(n+1)+5^n) = 

restamos 5 veces el segundo al primero para hacer desaparecer el término 5^(n+1)

= (2^n +5^(n+1) - 5[2^(n+1)+5^n],   2^(n+1)+5^n) =

(2^n + 5^(n+1) - 5·2^(n+1) - 5^(n+1),   2^(n+1)+5^n) =

(2^n - 5·2^(n+1),    2^(n+1) + 5^n) =

descomponemos  2^(n+1) = 2·2^n

= (2^n - 10·2^n,   2^(n+1) + 5^n)=

(-9·2^n,   2^(n+1) + 5^n)=

(-3^2 · 2^n,   2^(n+1) + 5^n)

El segundo número no tiene factor primo 2 porque es impar, es la suma de 2^(n+1) que es par con 5^n que es impar, luego es impar. Y el primero ya está descompuesto en factores primos solo tiene el 2 y el 3.

Entonces el maximo común divisor solo puede 1,3 ó 9. Veamos que el segundo número es múltiplo de 3, con lo cual em mcd será 3 o 9

Lo demos tramos por inducción.

Para n=0

2^(0+1)+5^0 = 2+1 = 3

Supongamos que para n se cumple  2^(n+1)+5^n es multiplo de 3.

Entonces vamos a ver que para n+1 también es múltiplo de 3

2^(n+2) + 5^(n+1) = 2^(n+1)+ 2^(n+1) + 5^n + 5^n + 3·5^n =

2[2^(n+1)+5^n] + 3·5^n

por hipótesis 2^(n+1)+5^n es múltiplo de 3, luego 2[2^(n+1)+5^n] es múltiplo de 3 y si le sumamos un múltiplo de 3 como 3·5^n será múltiplo 3.  Luego para n+1 se cumple y queda demostrada la inducción. Y con ello que el mcd es 3 o 9.

Y eso es todo, sa lu dos.

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¡Gracias! 

Buenas noche Profe: estoy revisando y me surgió una nueva duda, ¿con respecto al segundo termino demostrado por inducción como concluyo que es divisible por 9? Ya que me quedan la suma de dos números múltiplos de 3 y no de 9...

Además, usted comienza con ( a- nb, ¿b) esto es un teorema? ¿Un lema? ¿O deducción?

Desde Argentina Muchas Gracias!

Lo de

(a, b) = (a-nb, b)

Yo no sé si tendrá la consideración de teorema. Lema o deducción eso depende de quien desarrolle la teoría. Simplemente es algo que se cumple y se puede demostrar. Todo número que sea divisor de a y b lo es de a-nb y b, y viceversa.

Sea c que divide a a y b entonces (a-nb) / c = (a/c) - (nb/c) = un entero - otro entero. Y si c divide a a-nb y b entonces m=(a-nb)/c = (a/c) - un entero, luego (a/c) debe ser un entero luego a divide a c.

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Y respecto a lo otro se me hace difícil entender lo que quieres decir, pero tu date cuenta que nos dicen que es múltiplo de 3 o de 9, no me piden demostrar que sea múltiplo de 9. Yo no veo que en ningún lado haya puesto que fuera múltiplo de 9, he puesto que era múltiplo de 3 o 9.

Y eso es todo, saludos.

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Buenísimo ! Osea que si lo demuestro lo puedo usar. Y con respecto al ejercicio, claro ! O sea, que la conclusión seria, que la expresión tiene como MCD a 3. Ya que 9 no esta en ambos términos. Genial! ☺