Como tengo este ejercicio de optimizaciòn bien ò mal ?
El ejercicio dice: un segmento de longitud de 5 cm apoya sus extremos en los semiejes positivos x y Y, de tal manera que forma con estos un triangulo. Hallar las dimensiones del triangulo de àrea màxima asì construìdo.
Bueno, siendo Y=h=altura y x=b=base, entonces la fòrmula del àrea quedarìa:
(x*y)/2 y mediante el teorema de pitàgoras despejè la Y para reemplazarla en la ecuaciòn del àrea. Hice todo y las dimensiones que obtuve son : x=2.89 y Y=4.1, pero tengo una duda: como el segmento de 5 cm es la hipotenusa, entonces yo la elevè al cuadrado : 5^2=y^2 + x^2, no entiendo porquè en algunas pàginas de internet en ejercicios como èste no elevan la hipotenusa al cuadrado y en otras pàginas si.
En las imàgenes està el desarrollo del ejercicio en dos partes.
¿Por favor me despeja esta duda? Muchas gracias.
2 Respuestas
Me parece que al hacer la derivada tuviste un error :(
No te preocupes te resolveré el problema y con calma lo analizas para que se vayan tus dudas :D
$$\begin{align}&\text{De la figura del triàngulo:}\\&\\&5^2=x^2+y^2,\ \text{despejamos y tenemos:}\ y=\sqrt{25-x^2}\\&\\&\text{luego, el àrea del triàngulo efectivamente es (x*y)/2}, \text{sustituimos x en la fòrmula del àrea:}\\&\\&A=\frac{x*\sqrt{25-x^2}}{2},\text{ahora aquì te va un trucazo :)}\\&\text{maximizar A equivale a maximizar}\ A^2\ \ entonces:\\&\\&A^2=\frac{x^2*(25-x^2)}{4}=\frac{25x^2}{4}-\frac{x^4}{4}\\&\\&\text{luego si}A^2=f(x) \ \ entoncesf(x)=\frac{25x^2}{4}-\frac{x^4}{4} \text{es la funciòn a maximizar.}\ \ \text{vaya que esto ahorra muchas cuentas :D}\\&\\&\text{luego, los pasos para maximizar la funciòn son los siguientes:}\\&\\&\text{paso 1:}\\&\text{derivamos f(x), entonces:}\\&f`(x)=\frac{25(2x)}{4}-\frac{4x^3}{4}=\frac{25x}{2}-x^3\\&\\&\text{paso 2:}\\&\text{ La derivada se iguala a cero y se determinan los valores crìticos.}\\&f`(x)=0,\ entonces\ \frac{25x}{2}-x^3=0\\&\text{de donde:}\ \ x_{1}=\frac{-5\sqrt{2}}{2},x_{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2} y\ \ x_{3}=0\\&\\&\text{paso 3:}\\&\text{se evalùan los valores crìticos en la segunda derivada para determinar los màximos de la funciòn:}\\&f``(x)=\frac{25}{2}-3x^2\\&\text{entonces para:}\\&x_{1}=\frac{-5\sqrt{2}}{2},\ \ f``(\frac{-5\sqrt{2}}{2})=-25<0\ \ màximo\\&\\&x_{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2},\ \ f``(\frac{5\sqrt{2}}{2})=-25<0 \ \ màximo\\&\\&x_{3}=0,\ \ f``(0)=\frac{25}{2} >0\ \ mìnimo\\&\\&\text{entonces, ya sea para x1 o x2, el àrea es màxima, luego sustituyendo en la ecuaciòn de pitàgoras:}\\&\\&25=(\frac{5\sqrt{2}}{2})^2+y^2,\ \ entonces: y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\&\\&\text{Por lo tanto, los valores que haràn el àrea màxima son:}\\&\\&x=\frac{5\sqrt{2}}{2}, y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$y listo!
Si gustas te recomiendo cheques tu derivada y lo resuelvas así como lo ibas haciendo, deberá salirte lo mismo, pero serán màs cuentas y es algo pesado :(
Si tienes duda, me preguntas
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El teorema de Pitágoras es siempre el mismo.
x^2 +y^2 = h^2
Siendo x, y los catetos y h la hipotenusa
Si la hipotenusa aparece si cuadrado entonces en el otro miembro deb haber una raíz cuadrada
$$\begin{align}&h= \sqrt{x^2+y^2}\end{align}$$Si aparece algo distinto de esas dos formas probablemente será algo que está mal.
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Respecto al ejercicio te recomendaría que lo repasaras, no está bien.
¿Es más bonito el eje Y que el X para tener más longitud? Piensa que si tu me dices que el triángulo de más área es el
x= 2.89
y= 4.1
yo creo que el triángulo
x= 4.1
y=2.89
Tiene la misma área y la hipotenusa también mide 5 luego también será el de mayor área.
Por lo tanto no cabe una solución que sea distinta de los dos lados iguales
x = y = raiz(25/2) = 3.5355
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Repásalo y si no encuentras el fallo me lo dices.
¡Bueno ya veo que te lo han resuelto, yo quise razonarte el por que la respuesta que dabas era imposible por si en otro ejercicio te pasa lo mismo veas que donde todas las variables juegan el mismo papel no puede haber soluciones distintas para cada una. Lo del truco de maximizar el interior de la raíz cuadrada en lugar de la raíz cuadrada es cierto, te ahorra sobre todo escritura. Y sus beneficios se prolongan a la derivada segunda, si necesitas saber su signo para saber si es un máximo o un mínimo puedes hacer la derivada primera sin la raíz y la segunda de lo que salga, el signo de los puntos críticos será el mismo qe si hubieras hecho las derivadas son la raíz, pero no sé hasta que punto el profesor esté de acuerdo con eso.
Si, vì el error, creo que el profesor està de acuerdo con este mètodo pues a èl le gusta simplificar y ahorrar pasos, muchas gracias profesor.