Calcular la longitud de una tangente desde un punto a una circunferencia

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La tangente y el radio de una circunferencia tienen una propiedad muy buena, que son perpendiculares.

Entonces si tu tomas el segmento de tangente entre el punto y la circunferencia, el radio y la recta que va desde el punto hasta el centro de la circunferencia has creado un triángulo rectángulo en el que poder aplicar el teorema de Pitágoras. Y la ecuación de la circunferencia te va a dar la información que necesitas:

(x-h)^2+ (y-k)^2 =r^2. 

El cateto radio lo tienes en la parte derecha, no tienes ni que hacer la raíz cuadrada ya que el teorema de Pitagoras te pide r^2

La hipotenusa es la distancia del punto al centro de la circunferencia y la ecuación te dice que el centro es

(h, k)

Con ello puedes calcular la distancia alpunto que te dan, o mejor, calcular la distancia al cuadrado, ya que eso es lo que necesitas para el teorema de Pitagoras, luego no saques la raíz cuadrada.

Y el cateto que falta es la longitud de la tangente, la puedes calcular como la raíz cuadrada de la hipotensa al cuadrado menos el otro cateto al cuadrado. Vamos a ponerlo todo con fórmulas que se entenderá mejor.

$$\begin{align}&c_1=r\\&h=D((x_1,y_1),centro) =\sqrt{(h-x_1)^2+(k-y_1)^2}\\&\\&c_2=tangente = \sqrt{(h-x_1)^2+(k-y_1)^2+r^2}\\&\\&\text{ Si el centro está en (6,4) todo se razona igual}\\&\text{siendo h=6, k=4}\\&\\&tangente = \sqrt{(6-x_1)^2+(4-y_1)^2+r^2}\end{align}$$

Y es mejor que dejes la fórmula así sin desarrollar los cuadrados, lleva menos  operaciones hacer el cálculo así que de la otra forma.

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Y eso es todo.