Determinar ecuación de recta dados 3 puntos

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El título de la pregunta era engañoso, me asusté al verlo.

Tenemos el punto por el que pasa la recta, el punto A(-4,8), si supieramos el vector director ya tendríamos la recta. El vector director será perpendicular al vector BC que forman los otros dos puntos.

BC = (-2, -3) - (5,-1) = (-7, -2)

Y dado un vector del plano la forma de obtener uno perpendicular es muy sencilla, se intercambian las coordenadas y a una de ellas, la que más rabia te dé, le cambias el signo. Asi que tendremos

(2, -7)

Luego la ecuación vectorial de la recta es

r: (-4,8) + t(2,-7)

Y a partir e aquí extraes el tipo de ecuación que más te guste o te hayan pedido.

Como te han pedido la general, no habría hecho falta pasar por la vectorial sino por esta otra.

Dado un punto (xo, yo) y un vector (u, v) la ecuación es de la recta determinada por ellos es

(x-xo) / u = (y-yo) / v

(x+4) / 2 = (y-8) / (-7)

-7(x+4) = 2(y+8)

-7x -28 = 2y + 16

lo paso todo a la derecha que me gusta más la x positiva

7x +2y + 44 = 0

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Y eso es todo.