Ecuación de un plano paralelo al eje z y que pasa por la recta intersección de dos planos.
Halle la ecuación del plano (Pi) que es paralelo al eje Z y pasa por la recta L intersección de los planos
$$\begin{align}&\pi(1) = x - y - 2z + 1 = 0\\&\pi (2)= -x +2y - 2z + 3 = 0\end{align}$$
1 respuesta
Monse 483!
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Por ser paralelo al eje Z, el plano tendrá un vector director perpendicular al eje Z, por lo tanto el producto escalar del vector director del plano por el vector paralelo a eje Z será 0
(u,v,w) · (0,0,1) = w = 0
Luego puede ser cualquier vector de la forma (u, w, 0)
Y la ecuación del plano será
(u,v,0)(x-xo, y-yo, z-zo) = 0
ux - uxo + vy - vyo = 0
como xo e yo son constantes las agrupamos y la forma del plano será
ux + vy + d = 0
La recta intersección de los dos planos pi1 y pi2 cumple las dos ecuaciones, luego cumplirá la suma de las dos multiplicadas por sendas constantes
a·pi1 + b·pi2 = 0
a(x-y-2z+1) + b(-x+2y-2z+3) = 0
(a-b)x + (-a+2b)y + (-2a-2b)z + a + 3b = 0
Y esto es la ecuación de un plano que pasa por la intersección de los dos, luego hagamos que este plano sea el que estamos buscando. Vista la forma que tiene el plano (ux+vy+d=0) simplemente deberemos hacer que el coeficiente de la z sea 0, es decir:
-2a-2b = 0
-2a = 2b
-a=b
Luego hagamos por ejemplo a=1 y b=-1, entonces el plano será
(1-(-1))x + (-1-2)y +(-2+2)z +1 - 3 = 0
2x - 3y - 2 = 0
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Y ese es el plano que cumple lo que nos piden. Espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien, no olvides puntuar.
Hola valeroasm!
Muchísimas gracias por su respuesta! Pues entendí prácticamente todo, excepto la parte que dice "La recta intersección de los dos planos pi1 y pi2 cumple las dos ecuaciones, luego cumplirá la suma de las dos multiplicadas por sendas constantes"
¿Por qué deben multiplicarse por las constante a y b? No me queda muy claro esto, además ¿existe la posibilidad de resolver el ejercicio encontrando primero la recta intersección de ambos planos (Pi (1) y Pi (2)) resolviendo el sistema de ecuaciones y hallar otro procedimiento?
Yo resuelvo así estos problemas porque es más coerta, pero entiendo que si no te lo han enseñado de esa forma es difícil.
Si tu tienes una expresión igualada a 0, al multiplicar esa expresión por una constante seguirá valiendo 0, es decir, si tienes
x-y-2z+1 = 0
a(x-y-2z+1) = 0
y lo mismo sucede si multiplicas el otro plano por b
b(-x+2y-2z+3) = 0
Y si sumas dos cosas que valen 0 la suma es cero, luego
a(x-y-2z+1) + b(-x+2y-2z+3) = 0
Y a partir de ahí creo que entiendes lo que se hace.
Si yo no supiera esto (que me lo enseñaron en un apartado llamado haces de planos) lo haría de otra forma más habitual.
La primera parte la dejo igual, es decir he llegado a que el plano tiene la forma
ux + vy + d = 0
Pero esa forma es poco práctica porque tiene tres incógnitas, salvo que u sea cero podemos dividir todo por u y nos quedaría que la forma del plano es
x + wy + e = 0
Ahora calculemos dos puntos de la recta intersección
x-y-2z+1=0
-x+2y-2z+3=0
sumándolas nos queda
y - 4z + 4 = 0
y = 4z-4
Y ahora demos valores a z, primero le damos el valor 0
z=0
y=4·0-4 = -4
x-(-4)-2·0+1=0
x +4+1=0
x=-5
luego un punto es
(-5, -4, 0)
Ahora le damos valor 1
z=1
y=4·1-4 = 0
x-0-2·1+1=0
x-2+1=0
x=1
luego otro punto de la recta es
(1,0,1)
Y ahora hacemos que el plano pase por esos dos puntos, por el primero
-5 + w·(-4) + e = 0
-4w + e = 5
y por el segundo
1 +w·0 +e = 0
e = -1
y ahora calculamos w
-4w + (-1) =5
-4w = 6
w = -6/4 = -3/2
Luego el plano es
x -(3/2)y -1 = 0
pero para dejarlo bonito multiplicamos todo por 2 y queda
2x - 3y - 2 = 0
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Y como puedes ver el resultado es el mismo, pero la cantidad de operaciones ha sido notablemente superior.
Y eso es todo.
