¿Cual es la altura del cono?
una jarra en forma de cilindro mide 12 cm de diámetro y 24 cm de altura. Si se desea construir un cono cuya base sea idéntica ala del cilindro y tenga el mismo volumen del cilindro.
2 Respuestas
Bueno nos piden la altura del cono y nos dan como condición que ambos volúmenes sean iguales, este nos servirá para encontrarla.
Como nos hablan de volúmenes, primero encontraremos ambos volúmenes con las respectivas formulas, para el cilindro nos dan el diámetro por lo tanto obtenemos el radio y tenemos la altura, por lo tanto tenemos todos los datos necesarios para encontrar el volumen.
$$\begin{align}&Cilindro:\\ &\\ &V=\pi\cdot{r^2}\cdot{h}\\ &V=\pi\cdot{6^2}\cdot{24}\\ &V=\pi\cdot{36}\cdot{24}\\ &V=\pi\cdot{864}\\ &V=864\pi\\ &\\ &\end{align}$$Luego tomamos los datos del cono, nos dicen que este tiene igual base que el cilindro por lo tanto comparten igual radio, pero no tenemos la altura.
$$\begin{align}&Cono:\\ &\\ &V=\frac{\pi\cdot{r^2}\cdot{h}}{3}\\ &V=\frac{\pi\cdot{6^2}\cdot{h}}{3}\\ &V=\frac{\pi\cdot{36}\cdot{h}}{3}\\ &V=\pi\cdot{12}\cdot{h}\\ &V=12\pi\cdot{h}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Como vemos aun no encontramos la altura del cono, pero tomamos el siguiente dato, nos dicen que como condición ambas figuras deben tener igual volumen, por lo tanto los igualamos y vemos que sale.
$$\begin{align}&Cilindro:(V=864\pi)\\ &Cono:(V=12\pi\cdot{h})\\ & \\ & Igualamos\\ & \\ & 864\pi=12\pi\cdot{h}\\ & \frac{864\pi}{12\pi}=h\\ & 72=h\end{align}$$Entonces al igualar los volúmenes, nos entrega el valor de la altura.
Lo que necesitamos es conocer las fórmulas del volumen del cilindro y el cono
$$\begin{align}&V_{cilin}= \pi r^2h =\pi·12^2·24\\ & \\ & V_{cono}= \frac 13\pi r^2 h =\frac 13·\pi·12^2·h\\ &\\ &\text{Como ambos volúmenes son iguales}\\ &\\ &\pi·12^2·24 =\frac 13·\pi·12^2·h\\ &\\ &\pi \text{ y }12^2\text{ están en ambos lados, se simplifican}\\ &\\ &24 =\frac 13h\\ &\\ &h = 24·3 = 72\, cm\\ &\end{align}$$
No afecta al resultado ya que este no depende de los radios del cono y cilindro, la altura del cono solo depende de la altura del cilindro y será siempre 3 veces esa altura mientras tengan el mismo radio. Por eso no leí correctamente el problema y supuse que nos daban el radio cuando lo que nos daban era el diámetro.
La resolución es esta:
$$\begin{align}&V_{cilin}= \pi r^2h =\pi·r^2·24\\ & \\ & V_{cono}= \frac 13\pi r^2 h \\ & \\ & \text{Como ambos volúmenes son iguales}\\ & \\ & \pi·r^2·24 =\frac 13·\pi·r^2·h\\ & \\ & \pi \text{ y }r^2\text{ están en ambos lados, se simplifican}\\ & \\ & 24 =\frac 13h\\ & \\ & h = 24·3 = 72\, cm\\ & \end{align}$$
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