Volumen de un cono

Respuesta de
a
Usuario
Hola

Tengo problemas para encontrar los volúmenes de figuras geométricas.

"Encontrar el volumen de un cono (mediante integración directa) de altura H y radio basal R tomando como el origen del sistema coordenado la punta del cono"

No entiendo bien cómo encontrar los volúmenes de figuras en forma general mediante integración directa.
Por favor trata de explicarme mediante este ejercicio el cálculo de volúmenes de manera general.
Cualquier buen link es bien recibido :)

Gracias por tu tiempo
Experto
Hola

Ya sea para calcular volúmenes o preparar un sándwich de salame la cuestión es la misma: hay que tener las rodajas adecuadas.

Imagina la figura cuyo volumen quieres calcular, en este caso: el cono.
El eje del cono coincide con el eje z. Al eje z lo pondremos vertical, quedando el plano xy horizontal.
Nuestro cono tiene la punta para abajo.Su vértice coincide con el origen de coordenadas.

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Digresión: que bien vendrían aquí unas imágenes 3D de realidad virtual, tal vez hologramas como los de la Guerra de las Galaxias ... y este software no nos permite hacer ni un simple dibujito ¡! Bueno, sigamos.
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La coordenada z de cada punto es su altura sobre el plano xy.
Cada conjunto de puntos con z=cte forman un plano horizontal paralelo al plano xy.

Bien, cuando uno de estos planos horizontales, z=cte, corta nuestro cono
¿Qué figura plana se forma en la intersección?

> > > Sí, un círculo. No hay duda.

Ahora bien, estos círculos tienen área pero no tienen volumen.
El área es, como todos sabemos, Pi por radio al cuadrado:

Area=Pi.R^2

La cuestión es ahora ¿Cuál es el radio de cada círculo?
Depende de z. Cuanto mayor sea z, más grande será el radio R del círculo.
Para calcularlo tenemos que tener en cuenta al ángulo de apertura del cono, o sea el ángulo entre el eje del cono y una cualquiera de las generatrices.
A este ángulo lo llamaré alfa

En cada circulo el radio R de un forma con el eje z del cono y la correspondiente generatriz, un triangulo rectángulo.
El cateto horizontal mide R y el cateto vertical mide z.
La tangente de alfa vale R/z

R/z=tg(alfa)

de aquí obtenemos R en función de z

R= z tg(alfa)

El radio de cada círculo es proporcional a z siendo tg(alfa) la constante de proporcionalidad.
Entonces, reemplazando R, el área de los círculos resulta:

Área =Pi.R^2=Pi.tg^2(alfa).z^2

Hemos puesto el área de los círculos como función de z
Para que tengan volumen hay que darles cierta altura, muy pequeña para que R no varíe mucho. Cada rodaja debe tener una altura infinitesimal, diferencial. Un diferencial de z : dz

Ya tenemos nuestras rodajas, con
Área = tg ^2(alfa) z^2
Altura=dz

El volumen(diferencial) de cada rodaja es el producto de área por altura:

Pi (tg alfa)^2 z^2.dz

Para obtener el volumen total del cono hay que integrar, entre z=0 y z= H, siendo H la altura (máxima) del cono:

__ H_
Integral Pi (tg alfa)^2 z^2.dz = 1/3 Pi (tg alfa)^2 H^3
__0_

Como el producto de (tg alfa) por H es Rmax, el radio de la base del cono podemos expresar el volumen en términos de Rmax así:

1/3 Pi Rmax^2 H

Es decir el área de la base (Pi Rmax^2 ) por la altura H sobre tres.
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Procedimiento general

Se toma la intersección del cuerpo dado con un plano z=cte
De esa figura necesitamos saber su área en función de z
Integramos esa función de z con los limites de integración adecuados dados por las dimensiones de cuerpo cuyo volumen queremos calcular.
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Aclaración : para el cálculo del volumen es lógico dar por conocidas las fórmulas que dan las áreas de las figuras planas que se forman, este caso círculos. No tiene sentido ponerse a deducir por integración que el área de un círculo es Pi por radio al cuadrado. Eso es lógico darlo por sentado. Observa que no he escrito ninguna fórmula con por e y. De no proceder así aparecerían integrales dobles bastante más complicadas de manejar.
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Al calcular, por ejemplo, el área de pirámides se forman triángulos de área=base por altura/2.

En el volumen de la esfera también hay que integrar áreas de círculos. Por supuesto que la relación entre z y R es distinta.
El cono y la esfera son casos particulares de los volúmenes de revolución, para los cuales el método es esencialmente el mismo.

Un cordial saludo,
eudemo
Usuario
Muchas gracias, me ha quedado muy claro