¿Qué hacer para cambio de apellido?

Hola, tengo un dilema, espero y me pueda orientar, tuve un hijo de un ciudadano americano, por ciertas cuestiones no lo registro cuando el niño nació, aunque si estaba haciendo los tramites, pero por ciertos obstáculos no seguimos con el tramite, el me ayudaba con la manutención del niño aunque no era mucho ni muy seguido, con el tiempo casi no lo veíamos, fue cuando conocí con quien me case, y por no tener problemas con mi esposo corte la comunicación con el padre biológico de mi hijo. Cuando nació nuestra hija registramos a los 2 niños, para eso mi hijo tenia 2 años, fuimos ante el Registro Civil para informarnos de que tramite se tenia que hacer y nos dijeron que un reconocimiento, puesto que yo lo tenia registrado solo con mis datos, pero hace unos meses el padre biológico me llamo porque quiere ver a su hijo y hacerse cargo de el, es algo complicado, mi hijo ya sabe la verdad, ahora estamos en tramites de divorcio y mi esposo no quiere hacerse cargo de mi hijo porque la responsabilidad es de su padre biológico, quien quiere registrar al niño con su apellido y darle sus derechos, ¿qué puedo hacer? Quiero lo mejor para mis hijos... Gracias!