Ponerla a dormir.. ¿Es una buena opción?

No, yo no creo que la solución sea ponerla a dormir ni mucho menos. Te contesto porque yo tenía una perrita que SI se comía los gatos, la sacaba a la calle y como hubiese algún gato era capaz de olerlo a metros de distancia e iba a por él y yo no podía frenarla porque yo pesaba 45 kilos y ella 35. Era una perra excepcional, murió hace 12 años pero la recordaré siempre porque era buena, cariñosa, quería a todo el mundo y todos los vecinos la adoraban. En el barrio donde yo vivía era famosa, todos los niños jugaban con ella. Pero... comía gatos. Todo empezó porque cuando era pequeña vivía en casa de un amigo mío criador (que fue quien me la cedió) y de cachorra un gato entró de noche a comer pienso y cuando ella fue a curiosear la atacó y la llenó de arañazos. Desde ese día les cogió manía, pero con la gente, otros perros y otros animales era adorable.
Estoy segura de que el problema de tu perrita tiene solución. Mi consejo es que busques un buen etólogo o le escribas a otro experto que está en la lista que se llama Yukio y que estoy segura de que te dará la mejor ayuda posible.
Yo solamente quería decirte eso, que no por tener ese comportamiento debéis pensar que atacará a una persona, pero es mejor que lo habléis con un profesional, sobre todo porque siempre puede salir algún vecino con ganas de bronca y es mejor evitaros problemas.
Animo y habla cuanto antes con este chico o con cualquier etólogo y verás como la mayoría de conductas extrañas de los perros se pueden reconducir por suerte para ellos y para nosotros que así podemos seguir disfrutando de su compañía corrigiendo sus travesuras.