Hola ayuda con la raíz de dos
Necesito la demostración de porque la raíz de dos nunca puede ser un numero racional ya que la raíz de dos es un numero irracional
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Respuesta de miguy
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Para demostrarlo lo haremos por reducción al absurdo, es decir, supongamos que raíz de 2 es racional y lleguemos a una contradicción con lo cual seria irracional.
Para ello, tenemos que demostrar que no hay ningún número racional que elevado al cuadrado sea igual a 2.
Supongamos que existe un número racional expresado de forma irreducible (que no se puede simplificar más) que cumple la ecuación (p/q)^2 = 2, o lo que es lo mismo: p^2 = 2q^2, de modo que p^2 debe ser par, al ser igual a q^2 multiplicado por 2. Pero si p^2 es par, p también es par, porque no existe ningún número impar cuyo cuadrado sea un número par.
Veamos ahora si q es impar. Como p es par, podemos escribir p = 2r, donde r es la mitad de p. Por lo tanto (2r)^2= q^2, y por el mismo motivo q también debe ser par.
Pero no es posible que p y q sean ambos números pares, porque entonces la fracción p/q es reducible (podríamos simplificar el numerador y denominador dividiendo por 2) y hemos empezado diciendo que eran irreducibles.
Contradicción con haber supuesto que raíz de 2 es racional, por tanto raíz de 2 es irracional.
Para ello, tenemos que demostrar que no hay ningún número racional que elevado al cuadrado sea igual a 2.
Supongamos que existe un número racional expresado de forma irreducible (que no se puede simplificar más) que cumple la ecuación (p/q)^2 = 2, o lo que es lo mismo: p^2 = 2q^2, de modo que p^2 debe ser par, al ser igual a q^2 multiplicado por 2. Pero si p^2 es par, p también es par, porque no existe ningún número impar cuyo cuadrado sea un número par.
Veamos ahora si q es impar. Como p es par, podemos escribir p = 2r, donde r es la mitad de p. Por lo tanto (2r)^2= q^2, y por el mismo motivo q también debe ser par.
Pero no es posible que p y q sean ambos números pares, porque entonces la fracción p/q es reducible (podríamos simplificar el numerador y denominador dividiendo por 2) y hemos empezado diciendo que eran irreducibles.
Contradicción con haber supuesto que raíz de 2 es racional, por tanto raíz de 2 es irracional.
