Solución ejercicio 27 documento

Las velocidades consideraré que llevan signo

En un choque elástico se conserva el momento lineal y la energía cinética

El momento lineal del sistema es la suma de cada masa por su velocidad

Llamemos z1 y z2 las velocidades posteriores por usar una letra que se distinga bien de la v

p antes = m1·v1 + m2·v2

p después = m1·z1 + m2·z2

Ec antes = (1/2)m1·(v1)^2 + (1/2)m2·(v2)^2

Ec después = (1/2)m1·(z1)^2 + (1/2)m2·(z2)^2

Esto nos da dos ecuaciones

$$\begin{align}&m_1v_1 + m_2v_2 = m_1z_1 + m_2z_2\\ &\\ &m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1z_1^2 + m_2z_2^2\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &m_1(v_1-z_1) = m_2(z_2-v_2)\\ &m_1(v_1^2-z_1^2)=m_2(z_2^2-v_2^2)\\ &\\ &\text{en la segunda usamos un producto notable}\\ &m_1(v_1+z_1)(v_1-z_1)=m_2(z_2+v_2)(z_2-v_2)\\ &\\ &\text {dividimos la segunda entre la primera}\\ &v_1+z_1=v_2+z_2\\ &\\ &\text{la multiplicamos por }m_2\\ &\\ &m_2(v_1+z_1)=m_2(v_2+z_2)\\ &\\ &\text{y le restamos la primera}\\ &\\ &m_2(v_1+z_1)-m_1(v_1-z_1) = m_2(v_2+z_2)-m_2(z_2-v_2)\\ &\\ &z_1(m_1+m_2)+m_2v_1-m_1v_1= 2m_2v_2\\ &\\ &z_1=\frac{2m_2v_2+m_1v_1-m_2v_1}{m_1+m_2}\\ &\\ &\text{Se hace un pequeño truco de suma y resta}\\ &\\ &z_1=\frac{2m_2v_2+2m_1v_1-m_2v_1-m_1v_1}{m_1+m_2}\\ &\\ &z_1= \frac{2(m_1v_1+m_2v_2)}{m_1+m_2}-v_1\\ &\\ &\text{Y por analogía}\\ &\\ &z_2=\frac{2(m_1v_1+m_2v_2)}{m_1+m_2}-v_2\end{align}$$

La expresión Vc = (m1·v1+m_2·v_2) / (m1+m2) es la velocidad del centro de masas, luego puedes poner

z1 = 2Vc - v1

z2 = 2Vc - v2

si lo quieres recordar más fácil.

b)

i) Si m1=m2 quedará

z1 = v2

z2 = v1

es fácil comprobarlo

ii) Si m2=2m1

z1 = 2(m1·v1+2m1·v2) / 3m1 - v1 = (2v1+4v2)/3 - v1 = (4v2-v1)/3

z2 = (2v1+4v2)/3 - v2 = (2v1+v2)/3

iii) Si m1=m2 y v2=0

por el apartado i)

z1 = v2 = 0

z2 = v1

iv) Si v2=0 y m2=2m1

Por el apartado ii)

z1 = (4v2-v1)/3 = -v1/3

z2 = (2v1+v2)/3 = 2v1/3

Se me ha hecho muy pesado y es que lo es, intenta terminarlo y si no puedes dímelo.