Demostrar una propiedad de función exponencial ...

hola espero puedas ayudarme con esto

DADA LA ECUACIÓN

e^z=e^(x+iy)=e^x[cosy+iseny]

COMPRUEBE QUE

e^z1/e^z2=e^z1-z2

DONDE

z1=x1+iy1

z2=x2+iy2

saludos

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1 Respuesta

5.843.850 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Vamos con ello.

$$\begin{align}&\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}= \frac{e^{x_1+iy_1}}{e^{x_2+iy_2}}=\\ &\\ &\frac{e^{x_1}(cosy_1+iseny_1)}{e^{x_2}(cosy_2+iseny_2)}=\\ &\\ &\\ &\text{Multiplicamos y dividimos por el conjugado}\\ &\\ &\frac{e^{x_1}(cosy_1+iseny_1)}{e^{x_2}(cosy_2+iseny_2)}·\frac{cosy_2-iseny_2}{cosy_2-iseny_2}=\\ &\\ &\\ &\frac{e^{x_1}(cosy_1cosy_2+iseny_1cosy_2-icosy_1seny_2-i^2seny_1seny_2)}{e^{x_2}(\cos^2y_2-i^2sen^2y_2}=\\ &\\ &\\ &\frac{e^{x_1}[cosy_1cosy_2 + seny_1seny_2+i(seny_1cosy_2-cosy_1seny_2)]}{e^{x_2}(\cos^2y_2+sen^2y_2)}=\\ &\\ &\text{por fórmulas trigonométricas de resta de ángulos}\\ &\\ &\frac{e^{x_1}[\cos(y_1-y_2)+isen(y_1-y_2)]}{e^{x_2}}=\\ &\\ &e^{(x_1-x_2)}[\cos(y_1-y_2)+isen(y_1-y_2)]=\\ &\\ &e^{[x_1-x_2+i(y_1-y_2)]}= \\ &\\ &e^{[x_1+iy_1 -(x_2+iy_2)]} = \\ &\\ &e^{z_1-z_2}\end{align}$$

Y eso es todo.

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