Determinar la matriz de X a partir de una matriz transpuesta
Buenas tardes Experto!!
Aquí estoy nuevamente con las mates, después de tan larga ausencia. Acabo de resolver una ecuación matricial, pero no estoy segura si la he resuelto correctamente. ¿Podría confirmármelo? El ejercicio es el siguiente:
b) Determina la matriz X que cumple que
$$AX + CBt = BBt$$
siendo Bt la matriz transpuesta de B.
Lo he resuelto del siguiente modo:
AX + CBt = BBt
AX= BBt -CBt
AX= Bt (B-C)
X=B-C . A^-1
¿Estaría bien resuelto?
Espero su respuesta,
Gracias y Un Saludo!!
1 Respuesta
¡Huy¡ La última línea está muy mal.
El producto de matrices no es conmutativo, salvo en raras excepciones. Entonces al multiplicar ambos lados de una igualdad por una matriz hay que hacerlo multiplicando en ambos lados a la derecha o a la izquierda.
Las primeras líneas estaban bien:
AX + CBt = BBt
AX= BBt -CBt
AX= Bt·(B-C)
y en la última hay que multiplicar por A^-1 a la izquierda en ambos lados
A^-1(AX) = A^-1·[Bt·(B-C)]
Aplicamos la propiedad asociativa en la izquierda y en la derecha es insignificante
(A^-1·A)X = A^-1·Bt·(B-C)
Una matriz por su inversa da la matriz identidad
Id·X = A^-1·Bt·(B-C)
X = A^-1·Bt(B-C)
Esa es la respuesta. Por supuesto que no es necesario que des todos los pasos tal como hice yo, pero es para que lo entiendas.
Y eso es todo.
Sí, lo he entiendo a la perfección. Lo único que no me queda muy claro es ¿cuando se multiplica por la izquierda y cuando por la derecha?
A la espera de su respuesta,
Gracias y Un Saludo!!
En este caso tenías que despejar la X. En el miembro izquierda tenias la expresión
AX
Para poder quitar la A la tienes que juntar con A^-1, entonces tendrás que multiplicar a la izquierda por A^-1
A^-1(AX) = (A^-1·A)X = X
si pones A^-1 a la derecha
(AX)A^-1
No obtienes nada salvo complicar más aún la expresión.
Por supuesto que A^-1 no puedes ponerlo directamente en el medio
A·A^-1·X no se puede.
Si la ecuación hubiera sido de este tipo
XA = C
tendrías que multiplicar a la derecha en los dos sitios
(XA)A^-1 = C·A^-1
X = C·A^-1
