Hallar la forma normal de la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A(-1,7) y B(4,2)

Primero hacemos la ecuación por el método que mas nos guste. Ahora por ejemplo uso el de la ecuación continua. Dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) la recta que pasa por ellos es:

(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)

Aplicada a nuestros puntos es

(x-(-1)) / (4-(-1)) = (y-7)/(2-7)

(x+1)/5 = (y-7)/(-5)

Simplificamos el 5, no es necesario multiplicar en ambos lados por lo mismo

x+1 =-y+7

x+y-6 = 0

Y la forma normal de una ecuación de recta

Ax+By+C = 0

es

(A/sqrt(A^2+B^2))x + (B/sqrt(A^2+B^2))y+ C/sqrt(A^2+B^2) = 0

Para nuestra recta sqrt(A^2+B^2) = sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2).

Y la forma normal de la ecuación será:

x/sqrt(2)) + y/sqrt(2) - 6/sqrt(2) = 0

Ya sabrás de la manía que tienen algunos profesores con que no puede haber radicales en los denominadores y a lo mejor te habrás cansado de hacer ejercicios de racionaliozación de denominadores. No es otra cosa que multiplicar y dividir por sqrt(2).

La ecuación racionalizada sigue siendo la ecuación en forma normal, puesto que los coeficientes tienen el mismo valor escrito de forma distinta. Y quedará así:

sqrt(2)x/2 + sqrt(2)y/2 - 3sqrt(2) = 0

Y eso es todo.