Métodos numéricos ayuda con el planteamiento

El método de Gauss- Seidel es un método para resolver ecuaciones lineales en el que no se busca la solución directamente sino que se va refinando la solución en sucesivas iteraciones. Se parte de un valor de la solución que puede ser cualquiera y se obtiene otra solución, de esta solución se obtiene otra y asi sucesivamente hasta llegar a a la solución exacta o una buena aproximación.

Los algoritmos iterativos se basan en esto:

Tenemos el sistema de ecuaciones

Ax = b

Donde A es una matriz, x el vector de las incógnitas y b los coficientes.
Pasamos Ax al otro lado

0 = -Ax + b

Sumamos un producto Qx a ambos lados donde Q es una matriz de las mismas dimensiones que A

Qx = Qx - Ax + b

Qx = (Q-A)x + b

En la derecha se pone la solución anterior y en la izquierda aparece la nueva, si llamamos x(i) al la solución i-esima el proceso sería

Qx(i+1) = (Q-A)x(i) + b

Hay varios métodos basados en esto. La particularidad del de Gauus Siedel es que se toma como matriz Q aquella que tiene la parte triangular inferior a la diagonal igual que A y la diagonal también igual que A y lo de abajo se toma como ceros. Vamos a verlo claramente resolviendo el problema.

La ecuación que nos plantean es:

| 6 6 0 | |x1|   |4500|
| 8 0 8 |x|x2| = |3600|
| 0 7 7 | |x3|   |4900|
Donde la solución [x1,x2,x3] son los productos
que fabrica cada máquina en una hora.
Una vez tomamos la matriz Q de la forma dicha
tendremos este sistema iterativo
|6 0 0| |x1|   |0 -6  0| |x1| |4500|
|8 0 0|X|x2| = |0  0 -8|x|x2|+|3600|
|0 7 7| |x3|   |0  0  0| |x3| |4900|
Tendremos 
6x1(i+1) = -6x1(i) + 4500 ==>
x1(i+1) = [-6x1(i) + 4500]/6
8x1(i+1) = -8x3(i) + 3600

Y esa ecuación no nos va a servir para averiguar nada. Está visto que no puede haber ceros en la diagonal principal. Vamos a empezar de nuevo cambiando la segunda y tercera ecuación

| 6 6 0 | |x1|   |4500|
| 0 7 7 |x|x2| = |4900|
| 8 0 8 | |x3|   |3600|
Donde la solución [x1,x2,x3] son los productos
que fabrica cada máquina en una hora.
Una vez tomamos la matriz Q de la forma dicha
tendremos este sistema iterativo
|6 0 0| |x1|   |0 -6  0| |x1| |4500|
|0 7 0|X|x2| = |0  0 -7|x|x2|+|4900|
|8 0 8| |x3|   |0  0  0| |x3| |3600|
Tendremos 
6x1(i+1) = -6x2(i) + 4500 ==>
x1(i+1) = [-6x2(i) + 4500]/6 ==>
x1(i+1) = -x2(i) + 750
7x2(i+1) = -7x3(i) + 4900 ==>
x2(i+1) = [-7x3(i) + 4900]/7
x2(i+1) = -x3(i) + 700
8x1(i+1) + 8x3(i+1) = 3600 ==>
x3(i+1) = [3600 - 8x1(i+1)] / 8 ==>
x3(i+1) = 450 - x1(i+1)
Luego el sistema de iteraciones será:
x1(i+1) = -x2(i) + 750
x2(i+1) = -x3(i) + 700
x3(i+1) = 450 - x1(i+1)
Nótese que en la tercera ecuación interviene el
resultado obtenido en la primera.
Aunque se aconseja empezar con un buen candidato
elijamos X0 = [375,375,375]
x1(1) = -375 + 750 = 375
x2(1) = -375 + 700 = 325
x3(1) = 450 - 375 =  75
x1(2) = -325 + 750 = 425
x2(2) = -75 + 700 = 625
x3(2) = 450 -425 = 25
x1(3) = -625 + 750 = 125
x2(3) = -25 + 700 = 675
x3(3) = 450 - 125 = 325
x1(4) = -675 + 750 = 75
x2(4) = -325 + 700 = 375
x3(4) = 450 - 75 = 375
x1(5) = -375 + 750 = 375
x2(5) = -375 + 700 = 325
X3(5) = 450 - 375 = 75

Y como puedes ver, hemos dado la vuelta y volvemos a un resultado anterior, con lo cual nos metemos en un bucle infinito y no llegamos a nada. Eso es porque el candidato no era bueno.

Resolvemos le ecuación por q cualquier método y nos da [250, 500,200]

Si metemos ese valor inicial devuelve el mismo, buena señal. Tomemos ahora un candidato inicial medianamente decente [ 150, 400,130]

Lo he hecho con ordenador y tampoco converge.

Pues lo que sucede es que este sistema concreto de ecuaciones no es convergente con el método de Gauss-Seidel. Puede pasar y más cuando la matriz no es diagonalmente dominante como aquí, donde el valor absoluto de los elementos de la diagonal principal de la matriz no excede de la suma de los valores absolutos de los otros elementos de la fila. Tal como dice aquí:

http://www.monografías.com/trabajos45/descomposición-lu/descomposición-lu2.shtml#xmetodo

Y eso es todo lo que se puede hacer, no sirve el método de Gauss-Siedel para esta ecuación.

La respuesta exacta es [250,500,200]

La máquina A necesita 4 horas, la B 2 horas y la C 5 horas.

Hola aun no me queda claro el hecho de que no se puede resolver por ese método?? y si es asi seria lo mismo si usara el de jacobi?

Pues no, no se puede resolver, entra en un ciclo repetitivo y no se puede calcular.

Yo estudié estos métodos hace 30 años y no los he vuelto a utilizar, por eso he tenido que mirar en internet cómo era este método. La página de donde saqué la definición inicial es un poco rollo, quizá en esa que te ponía en enlace explica mejor cómo se crea el método y además da la condición suficiente de convergencia. Este sistema de ecuaciones no cumple esa condición y advierte que por eso puede no converger. Y en efecto, no converge. Además el método está bien definido porque lo he probado con otras ecuaciones y convergen.

No tiene porque ser igual, con Jacobi a lo mejor si converge.

Si me das algo de tiempo, porque tengo que volver a estudiar cómo es el método de Jacobi te lo confirmo. Lo que pasa es que ya dentro de nada tengo que dejar el ordenador y puede que no me de tiempo a probarlo.

hola pues gracias lo intentare con el jacobi e igual tenga razón otra pregunta que tipo de método uso para determinar las horas para cada maquina para que de la misma forma lo desarrolle ya que mi profesor es exigente por lo menos llegar con algo diferente..y gracias

El método de Jacobi se caracteriza por tener como matriz Q la matriz diagonal. Nos quedará así:

|6 0 0| |x1|   | 0 -6  0| |x1| |4500|
|0 7 0|X|x2| = | 0  0 -7|x|x2|+|4900|
|0 0 8| |x3|   |-8  0  0| |x3| |3600|
6x1(i+1) = -6x2(i) + 4500 ==>
x1(i+1)  = -x2(i) + 750
7x2(i+1) = -7x3(i) + 4900 ==>
x2(i+1) = -x3(i) + 700
8x3(i+1) = -8x1(i) + 3600 ==>
x3(i+1) = -x1(i) +450
Y el sistema de iteraciones es:
x1(i+1) = -x2(i) + 750
x2(i+1) = -x3(i) + 700
x3(i+1) = -x1(i) + 450
La única diferencia está en la última línea
donde pone x1(i) en lugar de x1(i+1), no sé
si eso será suficiente.
Pues los resultados obtenidos por ordenador son aún peores:
   50.00 1150.00 -300.00
 -400.00  400.00  400.00
  350.00 1100.00 850.00
-350.00 1550.00 100.00
 -800.00  800.00  800.00
  -50.00 1500.00 1250.00
-750.00 1950.00 500.00
-1200.00 1200.00 1200.00
-450.00 1900.00 1650.00
-1150.00 2350.00 900.00
-1600.00 1600.00 1600.00
-850.00 2300.00 2050.00
-1550.00 2750.00 1300.00
-2000.00 2000.00 2000.00
-1250.00 2700.00 2450.00
-1950.00 3150.00 1700.00
-2400.00 2400.00 2400.00
-1650.00 3100.00 2850.00
-2350.00 3550.00 2100.00
-2800.00 2800.00 2800.00
-2050.00 3500.00 3250.00
-2750.00 3950.00 2500.00
-3200.00 3200.00 3200.00
-2450.00 3900.00 3650.00
Y también he comprobado que el método 
Funciona con un sitema que tien la diagonal 
dominante.
Pues es el sistema de ecuaciones el que es poco
apropiado. No sé si habrá algún método con
el que converja.

Y ahora si que tengo que dejarlo.

creo que de esta forma posiblemente si pueda dar en cuanto a la matriz no se si tenga mucho que ver est

6 6 0 x1 750

8 0 8 x2 450

0 7 7 x3 700

lo único que hice fue dividir los productos entre horas de producción

no se si de esta forma converja

A eso que haces no le encuentro el sentido. El nuevo sistema no es equivalente al anterior porque la solución del primero era (250, 500, 200)

Pulse mal alguna tecla y se mandó sola la respuesta. Decía que la solución es distinta, la de este es (325/8, 675/8, 125/8) que ni siquiera guarda cierta proporcionalidad ni nada con la anterior.

Es que lo que has hecho no está bien. Si divides por algo un coeficiente de una ecuación tienes que dividir toda la ecuación por eso mismo.

El sistema

1 1 0 x1 750

1 0 1 x2 450

0 1 1 x3 700

Si sería equivalente al original, pero el problema de convergencia se mantendría exactamente igual. El problema está en los coeficientes de la matriz, en la relación entre ellos en cada fila y esa relación se mantiene igual multipliquemos o dividamos por algo.

No sé exactamente que te piden. Si te dijeron que resolvieras eso por el método de Gauus-Seidel fue para que te dieras cuenta que no se puede. Si no te dijeron que método tenías que usar, ya tienes visto que ni el de Gauss ni el de Jacobi te sirven. Yo no sé qu otros métodos te han enseñado, la verdad es que cerca de 2000 preguntas contestadas esta era la primera o casi la primera que me hacían de Análisis Numérico y este tema lo llevo bastante flojo.