Simplificar Expresiones Matriciales
Me gustaría aprender a simplificar expresiones matriciales, pero los apuntes de la carrera no ayudan mucho y el profesor se limita a darnos la solución de los ejercicios sin explicarnos el procedimiento. Sé que para ello, hay que aplicar una serie de propiedades: inversión, transposición... Pero estoy hecha un lío y no termino de aclararme con éstas dos:
(A+B)^-1 . (AB+B^2) . (A^-1.B)^-1
(C(BA)^-1)^-1 . C(C^T . B^T)^T . (BC)^-1
1 Respuesta
Se supone que son matrices todas cuadradas del mismo orden nxn porque las matrices inversas solo están definidas para las matrices cuadradas.
Con la operación suma se forma un grupo conmutativo, muy similar a la operación suma de números.
La operación producto de matrices no es conmutativa, eso nos dará las principales diferencias con la multiplicación de números.
1) Hay multiplicación a derecha y a izquierda
Si A=B ==> CA=CB y AC=BC pero AC = CB o CA=BC no tienen porque ser ciertos
2) En la propiedad distributiva el factor común debe estar al mismo lado y se debe dejar todo en el mismo orden
AB + AC = A(B+C)
AB + CB = (A+C)B
Pero de
AB + CA no se puede sacar factor común
3) El inverso del producto es el producto de los inversos cambiado de orden
(AB)^-1 = B^-1·A^-1
Con la transposición sucede como con el producto:
(AB)^T = B^T·A^T
Luego habrá que tener en cuenta que no siempre tiene que tener inversa una matriz, para ello su determinante deberá ser distinto de cero.
Si son operaciones con matrices de distintas dimensiones habrá que tener cuidado para que puedan sumarse o multiplicarse.
Y eso se me ocurre de momento, si tuvieras alguna duda me la preguntas.
Vamos con los ejercicios, aplicaremos las propiedades vistas e intentaemos cancelar inversos que vayan seguidos. No nos entretendremos en usar agrupar factores para poder usar la propiedad asociativa.
(A+B)^-1 . (AB+B^2) . (A^-1.B)^-1 =
(A+B)^-1 · (AB+B·B) · (B^-1·A) =
(A+B)^-1 · (A+B) · B · B^-1 · A = A
porque el primer factor y el segundo son inversos al igual que tercero y cuarto.
(C(BA)^-1)^-1 . C(C^T . B^T)^T . (BC)^-1 =
(BA) · C^-1 · C · B· C · C^-1 · B^-1 =
Tenemos dos parejas de C con su inverso que se simplifican, luego lo mismo con la B.
(BA) B B^-1 = BA
Y eso es todo.
Buenas de nuevo,
Es difícil cogerle el tranquilo, pero creo que comienzo a entender la lógica de las matrices. No obstante, me han surgido varias dudas:
1. (A+B)^-1 no podría simplificarse y quedarse cómo: A+B, pues se supone que la inversa de A es igual a A y la de B es igual a B, no sería así??
2. ¿Por qué BB^-1 . A es igual a A?
A la espera de su respuesta,
Gracias de Antemano,
Un Saludo!!
1) No, no de ninguna forma. Una matriz raramente va a ser la inversa de si misma, creo que solamente la matriz identidad y la menos identidad son inversas de si mismas, si acaso alguna más con determinante 1 o -1. Olvidate de esa idea porque precisamente es al contrario.
2) Cuando se juntan dos elementos inversos se anulan entre si.
Recuerda la definición de elemento inverso. Elemento inverso es aquel tal que
a·a^-1 = a^-1·a = e
Donde e es el elemento neutro.
Habría un paso intermedio que sería dejar el elemento nuestro, pero luego desaparece porque
a·e = e·a = a
En nuestro caso es elemento neutro es la matriz identidad que se escribe I (letra i mayúscula que con este tipo de fuente no se distingue bien, no se sabe si es una letra ele o un palote)
B·B^1·A = IA = A
Y eso es todo.
Muchas gracias valeroasm!! Su explicación ha sido de gran ayuda, soy de letras y todo ésto de las matrices me parece muy abstracto. Al final he comprendido el razonamiento y estoy segura de que podré aplicar estos conocimientos en futuros ejercicios. Éste era sin lugar a dudas, el punto de partida que necesitaba para poder empezar a resolver problemas con matrices.
Un cordial saludo
