Vectores

¿Por qué si se ha considerado la suma, resta y multiplicación de vectores no se ha considerado la división?, ¿Es posible definir esta operación?

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Decía un antiguo profesor que tuve: "Nunca te fíes de las preguntas cortas, a menudo son más complicadas de resolver que las de largo enunciado".
Esta es una pregunta aparentemente sencilla, pero que necesita varias explicaciones.
El concepto fundamental es entender la definición de operación y en que conjunto está definida.
Si nos fijamos en la suma de números reales, ésta es una operación interna definida
+:RxR-->
(x,y)-->z=x+y
que quiere decir que sumamos dos números reales (x,y) y nos da otro número real (z=x+y)
Esta operación cumple las propiedades
1º Asociativa: (a+b)+c=(a+b)+c
2º Conmutativa: a+b=b+a
3º Elemento neutro: Existe e tal que a+e=e+a=a
4º Elemento simétrico: Existe a' tal que a+a'=a'+a=e
Estas dos últimas propiedades son las que posteriormente nos van a permitir definir la resta:
i) El elemento neutro es el cero: a+0=a
ii) Al simétrico se le llama opuesto, y el opuesto de a es (-a): a+(-a)=0
Debido a estas propiedades, podemos definir la resta de dos números como la suma de uno más el opuesto del otro
a-b = a+(-b)
Pero si alguna de las propiedades no se cumpliese no tendría sentido la resta. Por ejemplo, si hubíesemos definido la suma en los números naturales
+:NxN--->N
No se cumpliría la existencia del opuesto, pues el opuesto de un natural no es natural, con lo que no se puede definir siempre una resta de naturales (sí de reales o enteros, pero 5-8 no es natural)
Definimos ahora el producto en los números reales
*:RxR--->
De igual forma se cumple:
1º Asociativa: (a*b)*c=(a*b)*c
2º Conmutativa: a*b=b*a
3º Elemento neutro: Existe e tal que a*e=e*a=a
4º Elemento simétrico: Existe a' tal que a*a'=a'*a=e ( salvo el cero)
Ahora tenemos
i) El elemento neutro es el uno: a*1=a
ii) Al simétrico se le llama inverso, y el opuesto de a es a^-1:
a*(a^-1)=(a^-1)*a=1
Debido a la existencia del inverso(salvo para el cero) y a la conmutatividad del producto, podemos definir la división de la forma
a/b=a*(b^-1)=(b^-1)*b
El hecho de que el producto sea conmutativo es ahora primordial para que el producto conlleve una definición de división.
Por ejemplo, si estamos hablando de matrices, la suma de matrices cumplen las mismas propiedades que los números, pero no así el producto, que a pesar de contar con un elemento neutro, así como de elemento inverso, no cumplen la propiedad conmutativa, por lo que
A*(B^-1) no es igual que (B^-1)*A
Con lo que si definiéramos A/B, no sabríamos a cual de las expresiones anteriores referirnos, y por eso no se define una división entre matrices, sólo por que el producto no es conmutativo.
Continúa...
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