Me piden hallar una curva
Me dicen, halla la curva en el plano XY cuyo segmento de tangente que se encuentra entre los ejes coordenados se divide en el punto de tangencia en partes iguales.
En principio no entiendo muy bien el problema, es algo asi como una curva donde todas sus tangentes cumplan eso?
La verdad estoy perdidisima
1 Respuesta
La recta tangente es un punto (xo, yo) es
y = yo + f '(xo)(x-xo)
Los cortes con los ejes son
Con el eje X cuando y= 0
0 = yo - f '(xo)(x-xo)
f '(xo)(x-xo) = yo
x-xo = yo/f '(xo)
x = xo + yo/f '(xo)
Luego es el punto ( xo + yo/f '(xo) , 0)
Con el eje Y es cuando x=0
y = yo - xo· f' (xo)
Es el punto (0, yo - xo· f' (xo))
La distancia del punto a los cortes (y elevada al cuadrado para no andar con molestas raíces cuadradas) debe ser la misma
$$\begin{align}&\left(x_0+\frac{y_0}{f´(x_0)}-x_0\right)^2+y_0^2=x_0^2+\left(y_0-x_0 f´(x_0)-y_0\right)^2\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{y_0^2}{[f´(x_0)]^2}+y_0^2=x_0^2+x_0^2[f´(x_0)]^2\\ &\\ &\\ &\\ &y_0^2 +y_0^2[f´(x_0)]^2 = x_0^2 [f´(x_0)]^2+x_0^2[f´(x_0)]^4\\ &\\ &\\ &\text{Y esto es una ecuación diferencial}\\ &\\ &(y´)^4x^2+(y´)^2(x^2-y^2)-y^2=0\\ &\\ &(y´)^4+(y´)^2\left[1-\left(\frac yx\right)^2\right]-\left(\frac yx\right)^2=0\\ &\\ &\\ &\text{Cambio }u=\frac yx\implies \frac{dy}{dx}=u+\frac{du}{dx}x\\ &\\ &\\ &\left(u+\frac{du}{dx}x\right)^4+\left(u+\frac{du}{dx}x\right)^2(1-u^2)-u^2=0\end{align}$$Voy a parar ya. La ecuación diferencial es complicadísima y no estoy seguro de si estoy respondiendo la pregunta o la pregunta era otra. Tu sabrás lo que estás estudiando y sabrás si es lógico que hayamos llegado a semejante ecuación. Esto sería un problema de universidad pero bueno.
