Discusión de una curva: Parte 1 de 2

No recuerdo yo haber hecho ejercicios de estos en el colegio, pero vamos a ver como se hacen.

1) Las intersecciones con los ejes son simplemente los puntos donde una de las dos coordenadas o las dos son cero.

Hagamos y = 0

-x^2 = 0

Luego el punto (0,0)

Y ahora hagamos x= 0

4y = 0

Nos da de nuevo el punto (0,0)

Luego el único punto de corte es el (0,0)

2) Simetría.

Será simétrica respecto del eje Y si para todo punto (x, y) de la curva también el punto (-x, y) pertenece a la curva

Supongamos que (x, y) pertenece a la curva

x^2·y - x^2 - 4xy + 4y =0

Y supongamos que (-x,y) pertenece a ella

(-x)^2·y - (-x)^2 - 4(-x)y + 4y =

x^2.y - x^2 +4xy + 4y= 0

Igualando y simplificando queda

4xy = -4xy

xy = -xy

2xy=0

Pero existen puntos que no cumplen eso y pertenecen a la curva, por ejemplo el (1,1), luego hay puntos de la curva que no tienen simetría respecto al eje Y

Será simétrica respecto al eje X si existen simultáneamente los puntos (x, y) y (x, -y) en la curva

Hacemos como antes yendo directamente al punto (x, -y)

x^2(-y) - x^2 -4x(-y)+4(-y) =

-x^2·y - x^2 + 4xy - 4y

para que esto sea igual a cero se cumplirá

x^2·y - x^2 - 4xy + 4y = -x^2·y - x^2 + 4xy - 4y

2x^2·y - 8xy + 8y = 0

Y eso no siempre se cumple, prueba simplemente con (1,1)

Luego no es simétrica respecto el eje X

Tendrá simetría central si existen los puntos (x,y) y (-x,-y)

La función en (-x, -y) es

-x^2·y - x^2 - 4xy - 4y = 0

Igualando con la función en xy y simplificando queda

-x^2·y - x^2 - 4xy - 4y = x^2·y - x^2 - 4xy + 4y

-2x^2·y - 8y = 0

Y de nuevo tenemos el socorrido punto (1,1) de la curva que lo cumple eso y no tiene simetría central por lo tanto

En resumen, la curva no tiene ninguna de las simetrías clásicas. Para probar respecto de otros ejes o puntos sería conveniente graficar la función. Ya lo hice y no se ve ninguna simetría.

c) De verdad que me gustaría saber como hacéis estos ejercicios. Yo creo que ya está bien de jugar a la ecuación implícita. Desde el principio habríamos podido hacerla explicita y todo hubiera sido más sencillo

x^2·y - x^2 - 4xy + 4y = 0

y(x^2-4x+4) = x^2

y = x^2 / (x^2-4x+4)

El denominador es claramente (x-2)^2

Luego el dominio es R - {2}

Y el denominador es siempre positivo salvo en x=2 donde la función no está definida.

Luego el numerador y el denominador es siempre positivo, entonces la función es siempre positiva.

Tenemos f(0) = 0 y lim x-->2 de f(x) = +infinito y la función es continua en [0, 2), luego toma todos los valores entre 0 y +infinito

Imagen de F = [0, + infinito)

Y esto es todo, si la forma de hacer el problema permite despejar la y al principio serán mucho más sencillos los apartados 1 y 2. Si no los sabes hacer asi me pides que los haga.