Como probar que para todo n que pertenece a n

Casi todo problema de este tipo se demuestra por inducción. Consiste en comprobar que se cumple para n=1 y demostrár que se si cumple para n también se cumple para n+1. Veamos si es verdad que se puede demostrar

i) Se cumple para n=1

Suma de i=1 hasta 1 de i² = 1² = 1

La fórmula dice 1(1+1)(2+1)/ 6 = 1·2·3 / 6 = 6/6 = 1. Se cumple

ii) Supongamos que se cumple para n

Suma i=1 hasta n de i² = n(n+1)(2n+1) / 6

Probemos la suma de cuadrados hasta n+1

Suma i=1 hasta n+1 de i² = n(n+1)(2n+1) / 6 + (n+1)² =

[n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)(n+1)] / 6 =

(n+1)(2n²+n+6n+6) / 6 =

(n+1)(2n²+7n+6) / 6 =

Vamos a descomponer el trinomio por Ruffini

      2   7   6
-2       -4  -6
      ----------
      2   3   0

=(n+1)(n+2)(2n+3) / 6 =

Y puesto con todos los detalles es

= (n+1)·[(n+1)+1]·[2(n+1)+1]

Que es exactamente la fórmula que nos dan aplicada a n+1. Luego se cumple la fórmula para n+1 y con estos dos pasos queda demostrada la inducción y el conjunto de todos los números naturales cumple la fórmula.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hjayas entendido. Si no, pide las explicacines que necesites, y si ya lo entendiste no olvides puntuar.