Problema de "Excedente del consumidor y del productor"
Se conocen las funciones:
$$\begin{align}&p=1200-1.5x^2\\ &p=200+x^2\end{align}$$Se pide:
Calcular el punto de equilibrio
Calcular el excedente del productor
Calcular el excedente del consumidor
***Todas las respuestas beben incluir comprobación.
1 Respuesta
El punto de equilibrio es la intersección de la curva de la oferta y la demanda
1200 - 1.5x^2 = 200 + x^2
2.5x^2 - 1000= 0
2.5x^2 = 1000
x^2 = 400
x=20
La respuesta x=-20 no sirva, la producción debe ser positiva.
Y el valor del precio es
p = 200 + 20^2 = 200 + 400 = 600
Luego el punto de equilibrio es x=20, p=600
Verificamos que cumple las dos ecuaciones
600 = 1200 - 1.5·20^2
600 = 1200 - 1·5·400
600 = 1200 - 600
600 = 600
600 = 200 + 20^2
600 = 200 + 400
600 = 600
Las fórmulas del excedente del productor y el consumidor son
$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\ &\\ &\\ &\text {que son equivalentes a estas: }\\ &\\ &ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\ &\\ &ec = -p_0q_0 +\int_0^{q_0}d(q)dq\end{align}$$Las he puesto con la variable q por costumbre y porque es más explicativa que la x.
F es la función de la oferta y d la de la demanda. Vamos a identificarlas. La función de la demanda es decreciente luego es
d(q) = 1200 - 1.5q^2
y la de la oferta es creciente y es
f(q) = 200 + q^2
$$\begin{align}&ep = 600·20 -\int_0^{20}(200+q^2)dq=\\ &\\ &12000-\left[200q+\frac{q^3}{3} \right]_0^{20}=\\ &\\ &12000-4000-\frac{8000}{3}=5333.3333...\\ &\\ &\\ &----------------\\ &\\ &ec = -600·20 +\int_0^{20}(1200-1.5q^2)dq =\\ &\\ &-12000+\left[1200q-1.5 \frac{q^3}{3} \right]_0^{20}=\\ &\\ &\\ &-12000 + 24000 - 1.5·\frac{8000}{3}=\\ &\\ &12000-4000 = 8000\end{align}$$Y esto no se puede comprobar, unicamente repasarlo para ver si se hizo bien.
Aparte las he revisado con el ordenador.
Y eso es todo.
Hola como compruebo que están bien el
punto de equilibrio
el excedente del productor
el excedente del consumidor
El punto de equilibrio está bien porque se ha verificado que el punto x=20, p=600 cumple las dos ecuaciones.
Para los excedentes hay que ver que están bien hechas las integrales. Si fueran funciones lineales se podrían calcular geométricamente como área de triángulos, pero al ser polinomios de segundo grado no se pueden calcular de otra forma que con integrales.
La gráfica no te ayudaría, es una función muy desproporcionada que necesitaría 1200 de altura por solo 20 de ancho si quisieras comprobar el área a ojo, y no se vería nada de estrecha que sería.
He vuelto a repasarlas y están bien hechas.
