Determinar los excedentes del consumidor y del productor dadas funciones de oferta y demanda

Ya te expuse la teoría en el problema anterior, esta vez diré solo lo imprescindible.

Primero pondré la letra q en lugar de la x, así puedes usarla de la misma manera que esa vez.

d(q) = sqrt(49-6q)

f(q) = q+1

Ahora calculamos el punto de equilibrio (po, qo)

sqrt(49-6q) = q+1

Elevamos al cuadrado en ambos lados

49-6q = q^2 + 2q +1

q^2 + 8q - 48 = 0

resolvemos la ecuación de segundo grado

q = [-8 +- sqrt(64+192)] / 2 =

[-8 +- sqrt(256)] / 2 =

(-8 +- 16) / 2 = -12 y 4

La respuesta negativa no sirve para nuestro problema, luego qo = 4

y calculamos po en la ecuación de la oferta po = 4+1 = 5

Luego el punto de equilibrio (po,qo) es (4,5)

Se comprueba que cumple la ecuación de la demanda

sqrt(49-6·4) = sqrt(25) = 5

y la de la oferta

4+1 = 5

Y ahora vamos con los excedentes, primero vuelvo a poner las fórmulas y después haré las integrales. Siempre escribo lo mismo, son dos fórmulas equivalentes se puede usar la que más guste.

$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\ &\\ &\\ &\\ &\text {que son equivalentes a estas: }\\ &\\ &ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}d(q)dq -p_0q_0\end{align}$$

$$\begin{align}&ec = \int_0^4 \sqrt{49-6q}·dq-4·5 =\\ &\\ &\\ &-\frac{2}{3}\frac{1}{6} \left [ (49-6q)^{3/2} \right ]_0^4-20=\\ &\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2})-20 =\\ &\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2}) -20=\\ &\\ &\\ &\frac{218}{9}-20=4.222...\end{align}$$

La integral es un poco liosa pero no llega a la categoría como para hacer un cambio de variable ya que es prácticamente inmediata. Acuérdate que la raíz cuadrada de algo es ese algo elevado a la 1/2, de ahí que la integral tenga exponente 1/2 + 1 = 3/2 y la consiguiente constante 2/3 para contrarrestar el factor 3/2 de la derivada.

$$Undefined$$

Luego el excedente del consumidor es 4.22... um y el del productor es 8 um

Y eso es todo.