Determinar lo excedentes del consumidor y del porductor
Otra vez yo :P
Por favor te pido ayuda con este ejercicio, please explícamelo porque ando super perdida y es ¡URGENTE! :(
La función de la demanda de un producto es:
$$p=\sqrt49-6x$$
Y la función de la oferta: p= x+1
Se pide:
Determinar los excedentes del consumidor y del productor.
1 Respuesta
Supondré que p es el precio y x la cantidad. Si es al revés me lo dices, que cada libro usa las letras como le da la gana.
El excedente del consumidor es el dinero que se han ahorrado los consumidores por la competencia del mercado y el del productor el que ha ganado eñ productor por eso mismo.
¿Cómo pueden ganar los dos te preguntarás?
Porque el consumidor podría haber pagado un precio más alto del que finalmente paga y porque el productor también hubiera podido ser que hubiera tenido que vender a menos precio. Las ganancias se miden respecto al precio de equilibrio y en la gráfica de las funciones es el área comprendida entre las respectivas funciones y la recta horizontal dada por el precio de equilibrio. El excedente del consumidor es un área por encima de la recta y el del productor por debajo.
Cuando las funciones son complicadas se tiene que usar el calculo integral, pero no sé si lo habrás dado ya, y como las funciones son rectas, lo calcularemos por geometría.
Lo primero es calcular el punto de equilibrio que es donde se cortan las dos rectas. Co ya está despejada la p las igualamos
$$\begin{align}&x+1 =\sqrt{49}-6x \\ &7x=\end{align}$$ESPERA, NO ESTOY SEGURO DEL ENUNCIADO. Me parece que no escribiste bien la función de la demanda
Cuando con el editor quieres poner una raíz cuadrada de algo tienes que poner ese algo entre corchetes. Me parece que debías haber escrito
p=sqrt{49-6x}
que nos mostrará
$$p=\sqrt{49-6x}$$Entonces el problema ya sería usando cálculo integral.
Confírmame si es esa la ecuación.
Emmm si!! es la segunda ecuación, una disculpa.
Pues como te decía, cuando la función no es lineal el cálculo de áreas ya tiene que hacerse con calculo integral.
Cuando hubo un momento que me mandaron varias preguntas de este tipo usaba las fórmulas
$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\ &\\ &\\ &\\ &\text {que son equivalentes a estas: }\\ &\\ &ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\ &\\ &\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}d(q)dq -p_0q_0\end{align}$$La adaptación que hay que hacer es poner q en lugar de x en las funciones que me diste.
d(q) es la función de la demanda y f(q) la de la oferta.
En resumen, las funciones demanda y oferta quedarán asi
$$\begin{align}&d(q) = \sqrt{49-6q}\\ &\\ &f(q) = q+1\end{align}$$Primero hay que calcular el punto de equilibrio (po, qo)
$$\begin{align}&\sqrt{49-6q} = q+1\\ &\\ &49-6q = (q+1)^2\\ &\\ &49-6q = q^2 + 2q +1\\ &\\ &q^2 + 8q - 48 = 0\\ &\\ &\text{Resolvemos la ecuación de grado 2}\\ &\\ &q = \frac{-8 \pm \sqrt{64+192}}{2} =\\ &\\ &q = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} =\\ &\\ &(-8 \pm 16) / 2 =\\ &\\ &\text {-12 y 4}\\ &\\ &\text {Solo la positiva nos sirve, luego}\\ &\\ &q_0 = 4\\ &\\ &p_0 = q_0+1 = 5\end{align}$$Y ahora hacemos las integrales:
$$\begin{align}&ec = \int_0^4 \sqrt{49-6q}·dq-4·5 =\\ &\\ &-\frac{2}{3}\frac{1}{6} \left [ (49-6q)^{3/2} \right ]_0^4-20=\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2})-20 =\\ &\\ &-\frac{1}{9}(25^{3/2}-47^{3/2}) -20= \\ &\\ &\frac{218}{9}-20=4.222...\end{align}$$$$\begin{align}&ep=4·5 -\int_0^4(q+1)dq =\\ &\\ &20-\left[ \frac{q^2}{q}+q\right ]_0^4 =\\ &\\ &20-\frac{4^2}{2}+4-0-0= 20-8-4= 8\end{align}$$Luego el excedente del consumidor es 4.222... y el excedente del productor es 8.
Y eso es todo.
Hola Valero Angel Me podrías decir de manera detallada, paso a paso, ¿como fue que integraste? Tanto en la parte de Excedente de consumidores y en la de productores!! Muchísimas gracias de antemano !! Un saludo - Axeel Galvan
¡Hola Axeel! No me dejan escribir en la pregunta. Si no sabes hacer la integral de (q+1) dq es que no sabes hacer ninguna, tienes que estudiarlas por fuerza. En la otra sería un cambio de variable t=49-6q; dt =-6dq; queda integral de -(1/6) raíz(t)=-(1/6)t^(3/2) / (3/2) = -(1/9)t^(3/2)=-(1/9)(49-6q)^(3/2) - Valero Angel Serrano Mercadal