Demuestre que la siguiente integral converge aplicando el criterio de la integral
y aproxime el valor de la suma utilizando los 5 primeros términos y determine una cota del error cometido.
1 Respuesta
serie de 1 al infinito de [ raíz de(arctan(n)) / (1+n^2) ]
¿Es esto?
$$\sum_1^{\infty} \frac{\sqrt{arctg\;n}}{1+n^2}$$Es que una mínima diferencia podría hacer irresoluble la integral que de por sí no la veo nada fácil.
sí es esa1
El criterio de la integral dice que si la función es continua, positiva y decreciente entonces la seria converge si y solo si la integral converge. En realidad no hacen falta tantas condiciones, pero vamos a dejarlo porque es así como aparece en todos los libros.
Continua y positiva no ofrecen dudas.
Para ver que es decreciente calculamos la derivada. No la voy a hacer simplemente apunto que el resultado es este numerador
1 - 4x(1+x^2)arctgx
Y un denominador positivo
Para x =1 su arctg es pi/4
1- 8·pi/4 = 1 -2pi < 0
Y para x>1 con más motivo es negativa porque el arcotangente crece hasta pi/2 y los factores 4x(1+x^2) también son mayores. Al ser la derivada negativa la función es decreciente
Luego cumple las condiciones del criterio y vamos a hacer la integral
$$\begin{align}&\int_1^{\infty}\frac{\sqrt{arctgx}}{1+x^2}dx =\\ &\\ &t = arctgx\quad dt = \frac{dx}{1+x^2}\\ &\\ &x=1\implies t=\frac{\pi}{4}\\ &\\ &x=\infty \implies t=\frac{\pi}{2}\\ &\\ &=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sqrt t dt =\left. \frac 23t^{3/2} \right|_{\pi/4}^{\pi/2} =\\ &\\ &\\ &\frac 23 \left(\frac{\pi}{2} \right)^{3/2}- \frac 23 \left(\frac{\pi}{4} \right)^{3/2}\end{align}$$Que es una cantidad finita. Luego la integral converge y la serie también.
Y eso es todo.
