¿Cómo calcular la integral de la arctang de la raíz cuadrada?

Integral de arctg ( raiz(x) ) dx = S arctg (raiz(x)) dx = I
(La ES es el símbolo integral)
Integrando por partes:
u = arctg(raiz(x))
dv = dx
du = 1/[2raiz(x)(1+x)]
v = x
Entonces
I = uv-Svdu = x·arctg(raiz(x)) - S x/[2raiz(x)(1+x)] dx
Para la nueva integral, podemos sacar el (1/2) fuera y x/raiz(x) = raiz(x):
(1/2)S raiz(x)/(1+x) dx
Hagamos ahora la substitución y=raiz(x), de forma que x=y^2 y dx = 2ydx
(1/2)S 2y^2/(1+y^2) dy =
S y^2/(1+y^2) dy
Luego la integral primera queda:
S arctg (raiz(x)) dx = x·arctg(raiz(x)) - S y^2/(1+y^2)dy
donde y = raiz(x)
Vamos a resolver ahora la integral en y. Como es una función racional, podemos escribir (dividiendo el numerador por el denominador):
S y^2/(1+y^2)dy = S (-1)/(1+y^2) dy + S 1 dy
S 1 dy = y = raiz(x)
Ahora resolvemos la primera, utilizando números complejos:
1/(1+y^2) = A/(y+i) + B/(y-i)
Para hallar las constantes A y B:
A(y-i) + B(y+i) = 1
Haciendo y=i ==> B2i =1 ==> B=(1/2)i
Haciendo y=-i ==> A(-2i)=1 ==> A = -(1/2)i
Por tanto:
S 1/(1+y^2) dy = (1/2)i·[S 1/(y-i)dy - S 1/(y+i)dy ] = (1/2)i·[ln(y-i) - ln(y+i)] = (1/2)i·[(ln(y^2)+i·arctg(-1/y)) - (ln(y^2)+i·arctg(1/y))] = (1/2)[arctg(-1/y)-arctg(1/y)] = (1/2) [ -2arctg(1/y) ] = -(PI - arctg(y)) = arctg(raiz(x)) - PI
Donde ln (es el logaritmo neperiano) En lo último he utilizado la fórmula del logaritmo complejo y que la función arctg es impar, de forma que arctg(-y)=-arctg(y), y además que arctg(1/y) = PI/2 - arctg(y)
Luego:
S y^2/(1+y^2)dy = raiz(x)-arctg(raiz(x))+PI
Finalmente:
S arctg (raiz(x)) dx = x·arctg(raiz(x)) - raix(x) + arctg(raiz(x)) - PI
Como PI es una constante la podemos quitar y generalizar con otra K = -PI +K'
S arctg (raiz(x)) dx = x·arctg(raiz(x)) - raix(x) + arctg(raiz(x)) + K