series convergente y divergentes

La sucesión 1/n tiende a cero
La serie 1/n que es la suma de 1+1/2+1/3+.....+1/n se puede hacer tan grande como yo quiera.
Lo que pasa es que el numeo de termino tiende a INFINITO.
Aunque cada termino sea muy pequeño como hay infintios la serie crece crece y crece.


Veamos si sumo los términos
1+1/2+1/3+1/4+.....+1/10
cada termino es mayor que un decimo. Como tengo diez seguramete voy a obtener algo mayo que uno
Ahora sumo los terminos
1/11+1/12+.......+1/100

Son todos mayores que 1/100 y como tengo 100 la suma tambiennda algo mayor que 1
Entonces hasta ahora sumé 2

Ahora sumo
1/101+1/102+......1/1000

Nuevamente sumo algo mayor a 1.Entonces en total tengo algo mayor a 3
Y puedo seguir 4,5,6 subiendo todo lo que yo quiera de uno en uno.
Por lo tanto la suma es tan grande com yo quiera

Ahora bien , me dirás que para llegar a 5 tengo que sumar 100.000 terminos
para llagar a 6 necesito 1.000.000 De acuerdo , es mucho pero eso te da una ide que infinito es realmente infinito.

En cambio si n esta al cuadrado la serie tiene limite
Saludos
eudemo

Si bien con la serie 1/n puedo ir tomando cantidades crecientes de términos de manera de seguir sumando uno indefinidamente con la serie 1/n^2 no puedo. Las cantidades que adicionO son cada vez mas chicas.
Es complicado demostrar el valor al que tiende la serie 1/n^2 que es Pi cuadrado sobre 6. Lo que se puede hacer usar algun metodo para demostrar que converge.

El mas intuitivo es el método de acotar la serie con la integral

Si hacemos la diferencia

1/n -1/(n+1)= 1/n(1+n))

Vemos que para n muy grande
1/n-1/(n+1)
difiere muy poco de
1/n^2

Por este método se puede demostrar que la derivada de 1/n es -1/n^2
Es decir que la integral de 1/x^2 es 1/x Si x tiende a infinito 1/x tiende a cero .
Así la integral de 1/x^2 cuando x tiende a infinito esta acotada
En general la integran de 1/x^m es 1/x^(m-1) y el método sirve para todo n distinto de 1.La formula anterior para la integral se aplica a cualquier m que no sea 1. En el caso m=1 la integral vale logaritmo de n que para n tendiendo a infinito es infinito

Resumiendo que la serie 1/n^m converge para todo m que sea mayor que uno.
Cuando m=1 como ya sabes la serie diverge .

Espero que te halla sido de utilidad

saludos
eudemo