Coche que se para en marcha y que le cuesta arrancar

Tengo un Seat Ibiza del año 95. Gasolina 1.4.
El problema es que el coche normalmente arranca a la primera pero
a los 10 minutos aproximadamente de estar en marcha se para (da igual
que esté en punto muerto que en cualquier marcha, lo hace igual).
Cuando intento volver a arrancarlo, el coche a veces arranca de nuevo y
a veces le cuesta varios intentos. Eso sí, normalmente, una vez lo he
conseguido volver a arrancar, no se vuelve a parar y funciona
perfectamente.
Otra observación que he hecho es que, si arranco el coche por
primera vez, lo llevo un poco y lo paro y lo desconecto de la llave
antes de que se pare por sí solo en marcha como me hace siempre, el
coche ya no hay quien lo arranque. Me tengo que esperar un buen rato y
alguna vez lo he tenido que dejar donde he podido porque era imposible
arrancarlo. Cuando vuelvo al rato o al día siguiente el coche arranca,
aunque a veces le cuesta.
Una observación más es que cuando voy en marcha y el coche hace
"el amago" de querer pararse, si le doy un estrujón al acelerador a
veces lo evito, pero solo a veces funciona.
Necesito ideas sobre lo que puede ser... Yo no entiendo nada de coches pero me han dicho que pueden ser las escobillas de arranque o algo así. Al coche ya le han mirado la batería y cosas básicas como si tenía aceite y agua, y le han cambiado el delco y nada. También le metí en el depósito un líquido limpiador y nada. Ideas de lo que podría ser