Las Demostraciones, solo los chuchas responden 😎🤙🏿

El último es el más sencillo

X par, y par entonces x+y es par

x par, entonces x = 2t

y par, entonces y = 2u

x + y = 2t + 2u = 2(t+u) por lo tanto es par

Veamos de manera parecida si podemos demostrar el anterior

x par, y impar, entonces x+y es impar

x par, entonces x = 2t 

y impar, entonces y = 2u + 1

x + y = 2t + 2u + 1 = 2(t+u) + 1, si hacemos t+u= h, nos queda

2(t+u) + 1 = 2h +1 (y esta es la forma de un número impar

No lo aclaré, pero creo que es obvio que en los ejercicios anteriores, t, u son enteros

El primero no sé si saldrá algo, veamos

$$\begin{align}&x \in Q, y \in I\\&x=\frac{a}b \; (a,b \in Z, b\ne0)\\&\text{Vamos a suponer por el absurdo, que }x+y \text{ es racional}\\&x+y \in Q \to\\&x+y = \frac{c}d (c,d \in Z, d\ne0)\\&\frac{c}d = \frac{a+e}{d} = \frac{a}d + \frac{e}d\\&\frac{a}d \text{habría que demostrar que esto es x, o una expresión equivalente, por lo que}\\&\frac{e}d \text{debe ser y, siendo ese el absurdo, ya que expresaste y como una fracción y eso no puede ser}\\&\text{ya que y es irracional}\end{align}$$