Ejercicio matemático sobre el tema llamado conjunto de positividad

h (x) = - 2 (x - 2) (x + 3)'

Al parecer al final de la ecuación tienes un apóstrofo, el cual indica que se debe realizar la primera derivada. Entonces:

$$\begin{align}&-2(x-2)(x+3)\\&(-2x+4)(x+3)\\&-2x^2-6x+4x+12\\&-2x^2-2x+12\\&derivada\\&-4x -2\end{align}$$

La gráfica:

Aquella parte de la función que está por encima del eje x es la parte positiva, entonces

El conjunto de positividad va desde -infinito hasta -0.5

$$\begin{align}& (-\infty , -0.5)\end{align}$$

En caso que el apóstrofo solo haya sido un error (ya que en esa posición no tendría sentido), me voy a quedar con la función original:

h(x) = - 2 (x - 2) (x + 3)

Hay varias formas de resolverlo, yo voy a elegir una (que no quiere decir que sea la única ni mucho menos).

Lo primero que debes saber que la función es continua

Una vez aclarado eso, hallemos las raíces. Como ya está factorizado es fácil ver que las raíces son:

x = 2, x = -3

Ahora tenemos 3 intervalos

(-inf, -3)

(-3, 2)

(2, + inf)

Y evaluamos la función en algún punto dentro de cada intervalo (como la función es continua, en todo el intervalo tendrá el mismo signo que en el punto evaluado).

h(-5) = - 2 (-5 - 2) (-5 + 3) = -2*(-7)*(-2) = -28

h(0) = - 2 (0 - 2) (0 + 3) = -2*(-2)*3 = 12

h(5) = - 2 (5 - 2) (5 + 3) = -2*3*8 = -48

Más allá que hice las cuentas, lo importante en cada caso era el signo y no tanto el valor en sí.

O sea que el intervalo de positividad es (-3,2)

Otra forma era ver que se trata de una parábola con coeficiente principal negativo, por lo que tendrá forma de "u invertida" lo que significa que entre las raíces será positiva y fuera de ellas negativa (llegando a la misma conclusión sin hacer una sola cuenta)

Salu2