Si x es un número racional diferente de cero y y es un número irracional entonces:

Te dejo los primeros que son bastante triviales de verificar, en el último caso

$$\begin{align}&Sea\ x \in Q,x \ne0, y \in I\\&(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\&x^2\to siempre\ racional\\&y^2 \to \text{si y es una raíz cuadrada, es racional, en otro caso es irracional}\\&2xy \to \text{siempre irracional}\\&\text{Yo dije que es siempre irracional, para eso lo que deberíamos asegurar es que}\\&2xy-y^2 \ne0 \text{ (ya que si es igual a cero, el resultado sería racional)}\\&2xy \ne y^2\\&2x \ne y \to \text{ (esto siempre pasa por las condiciones de x, y)}\\&\therefore\\&\text{Estamos en condiciones de asegurar que en las condiciones de x,y; }(x+y)^2 \text{ siempre es irracional}\end{align}$$