¿Cómo solucionar razones trigonométricas de la suma de 2 ángulos con solo conocer el seno de uno y el coseno del otro?

Primero debes saber la equivalencia para el seno y coseno de la suma (si no lo sabes puedes verlo en este link).

Además tienes que saber la regla de los signos del seno y coseno de acuerdo al cuadrante donde estén (hay muchas páginas donde puedes ver esto si no lo sabes...te dejo una aquí)

$$\begin{align}&sen(\alpha + \beta) = sen(\alpha)\cos(\beta) + sen(\beta)\cos(\alpha)\\&\text{Reemplazando los datos que conocemos}\\&=sen(\alpha)\cos(\beta) + \frac{3}5 \cdot (-\frac{5}3) = sen(\alpha)\cos(\beta) -1\\&O\ sea\\&sen(\alpha + \beta) =sen(\alpha)\cos(\beta) -1 \\&\text{Por ahora de eso no se me ocurre mucho, excepto que }sen(\alpha)\cos(\beta) \text{ debe ser positivo}\\&\text{por lo tanto el signo de ambas expresiones debe ser el mismo y como } \alpha \text{está en el 3° cuadrante}\\&\text{el seno es negativo (lo mismo ocurre con }\cos(\beta) \text{en el 2° cuadrantepor lo que ambas expresiones son negativas)}\\&\text{Veamos la otra expresión}\\&\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)+sen(\alpha)sen(\beta)\\&\text{Reemplazando lo conocido}\\&=-\frac{5}3cos(\beta)+sen(\alpha)\frac{3}5\\&\end{align}$$

Sinceramente yendo por ese lado no se me ocurre nada, la única que veo es ir por la forma 'directa' y es usando las funciones inversas del seno y el coseno, o sea:

Cos(alfa) = -5/13 Entonces alfa = 112°6 (calculadora), pero ese ángulo es del segundo cuadrante, así que el ángulo en cuestión es -112°6 que está en el 3° cuadrante como piden

Sen(beta) = 3/5  Entonces beta = 36°9 (calculadora), pero este ángulo está en el primer cuadrante, así que el ángulo en cuestión es 143°1

Y ahora lo que te quedan son cuentas (por supuesto este método funciona siempre y cuando tengas permitido usar la calculadora)

Salu2