Ejercicio de cálculo No.2 - Problemas de optimización - Depósito cilíndrico
Para fabricar un depósito cilíndrico de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2 y el del lateral es de $15. Calcular la altura h y el diámetro d= 2r para que el coste de un depósito de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del depósito?
1 respuesta
Las fórmulas que necesitamos son:
Volumen. V = PI * r^2 * a
Área = 2 Bases + Sup Lateral = 2 PI * r^2 + 2 * PI * r * a
Además los costos de los materiales son distinto según sea base o lateral, así que planteemos la expresión para costo.
C(a,r) = 15 * 2 * PI * r^2 + 2 * 2 * PI * r * a
Acomodamos un poco la expresión de costos
C(a,r) = 30PI r^2 + 4 PI r a
Lo otro que tenemos que saber es que 1m^3 son 1000 litros por lo tanto el volumen que necesitamos será de 10 m^3
V = 10 = PI a r^2
Despejamos 'a' de la expresión anterior --> a = 10 / (PI r^2)
Reemplazamos en la expresión de costos, para que quede una función de una sola variable
C(r) = 30 PI r^2 + 4 PI r 10 / (PI r^2) =
C(r) = 30 PI r^2 + 40 / r
Derivamos el costo respecto a 'r' y tenemos
C'(r) = 60 PI r - 40/r^2
Queremos que C'(r) = 0, o sea
0 = 60 PI r - 40 / r^2
Si de acá haces todos los despejes llegarás a los siguientes valores
r = 0.6m
a = 8.95m
Además te queda confirmar que el valor hallado es realmente un mínimo (ya que podría ser un máximo)
Salu2