Es un ejercicio de vibraciones

1.-Un cuerpo de 4lb estira un resorte 6 pulgadas. El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2.5 veces la velocidad instantánea . Encuentre la ecuación del movimiento si en t=0 el peso se encuentra 4 pulgadas por debajo de la posición de equilibrio en reposo y se suelta.

En principio hacete un dibujo de la situación.

Toma el eje x (+) hacia abajo de manera que la masa M soltada se impulsara hacia el punto de equilibrio arriba y podria oscilar o no...

La Masa acoplada con el resorte se estira en 4 pulgadas. Desde la posicion de equilibrio.

Al mismo tiempo a medida que aumenta su velocidad recibe una fuerza opuesta proporcional a la velocidad instantánea V(t) de magnitud 2.5 v(t).

La ecuación de equilibrio seria del tipo M x’’ = -k x – Beta y´

Normalmente lo pasas a forma de ED. Y te viene quedando:

x’’ +( 2 lambda) x’ + w 2 x = 0

Para resolver esta ED considerando las condiciones iniciales debes partir de la homogénea.

.m^ 2 + 2x Lambda m + w^2 = 0 

Las solución te quedará expresada en términos de los parámetros.( Masa vibrante, Beta y Lambda, además de la constante K del resorte.

Conviene tenerlos precalculados así:

M = 4 libras…………….K resorte: = 4 libras  x g / 6 = 4 x 386.22 / 6 = 257.5 lbf. / pulgada ……………..Beta = 2.5 ………………x (0) = 4 ………..x’(0) = 0 ................Lambda = Beta/ 2 M = 2.5/2 x 4 = 0.3125

Pero Lo primero que tendrias que evaluar es el tipo de amortiguamiento ( hay tres tipos básicos).

Es depende del signo del factor V (lambda^2 - w^2 ) …….. Lo calculas y te estaría dando:

W 2 = ( K / M ) 2 = (257.5 / 4)^2   = 4143.5

(Lambda) 2  = (Beta/ 2 Masa) 2  = (2.5/ 2 x 4) 2 = (0.3125) ^2 = 0.10

Siendo w2 >>> Lambda cuadrado ……………. El resultado es negativo, luego la amplitud del movimiento será débilmente amortiguado, moviéndose rapidamente tu masa M entre las dos exponenciales limite.

A (t) = Ao ( t) e exp^( - lambda t) = 6  e exp.^( - 0.3125) t

Estas serian la dos exponenciales entre las que se da el movimiento.

Para hallar la x(t) como funcion tendras que hallar la solucion general de la homogenea . ...m^ 2 + 2x Lambda m + w^2 = 0 ..y reemplazar las condiciones iniciales. Ya ahí me agoto un poco el rollo porque el tema no lo manejo hace años.

Participo a otros foristas para que tal vez te lo puedan completar.( y de paso me desaznan a mi)...