Anónimo
Calcular la integral por diferentes caminos
Alguien podría ayudarme a plantear el siguiente ejercicio del calculo de la integral
A (I)
El segmento de (0, 0) a (1,0) se parametriza con y(t)=0 con lo que y^4 = y^3 = 0 y la integral curvilínea a través de él es 0
El segmento de (1,0) a (1,1) se parametriza con
x=1 --> dx=0
y=t --> dy=dt
para 0 <= t <= 1
y lo único no nulo que queda al susituir en la integral es:
$$\begin{align}&\int_0^1 1^2t^3dt=\frac 14\end{align}$$a(II)
El segmento de (0, 0) a (0, 1) se parametriza con x(t)=0 por lo que x=x^2=0 y la integral curvilínea a través de él es 0
el segmento (0,1) a (1, 1) se parametriza con
x(t) = t --> dx=dt
y(t) = 1 --> dy=0
para 0 <= t <= 1
y con ello lo que queda no nulo en la integral es:
$$\begin{align}&\int_0^1 t·1^4dt=\frac 12\end{align}$$b)
El segmento de (0,0) a (1,1) se parametriza con
x(t) = t --> dx = dt
y(t) = t --> dy = dt
para 0 <= t <= 1
Y la integral será:
$$\begin{align}&\int_0^1\left((t·t^4)·1+(t^2·t^3)·1\right)dt=\\&\\&2\int_0^1t^5 \,dt=\frac 26=\frac 13\end{align}$$c) Se parametriza con:
x(t) = t^3 --> dx=3t^2 dt
y(t) = t --> dy = dt
para 0 <= t <= 1
Y la integral que queda es:
$$\begin{align}&\int_0^1\left((t^3·t^4)3t^2+(t^6t^3)·1\right)dt=\\&\\&\int_0^1(3t^9+t^9)dt = 4\int_0^1t^9dt=\frac 4{10}=\frac 25\end{align}$$No hay función potencial, si la hubiera el resultado sería el mismo por todos los caminos.
Y eso es todo.