Como saber que tipo de serie es una serie numérica

a) DIVERGENTE, para esto veamos el criterio de D'Alembert

$$\begin{align}&\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2 \cdot 4^{n}}{(2n)!}}=\\&\frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1} \cdot (2n)!}{(2(n+1))!\cdot (n!)^2 \cdot 4^{n}} = \\&\frac{(n+1)! \cdot (n+1)! \cdot 4 }{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (n!)^2 } = \\&\frac{(n+1) \cdot (n+1) \cdot 4 }{(2n+2)\cdot (2n+1) } = 1 \ (n \to \infty)\\&\text{Por este criterio no podemos decir nada...}\\&\text{Veamos por Criterio de Raabe}\\&\lim _{n \to \infty} n \cdot \bigg(1- \frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg) = \lim_{ n \to \infty} n \cdot \bigg(1- \frac{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2 \cdot 4^{n}}{(2n)!}}\bigg) = \\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(1 - \frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1} \cdot (2n)!}{(2(n+1))!\cdot (n!)^2 \cdot 4^{n}} \bigg)  = \\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(1-\frac{(n+1) \cdot (n+1) \cdot 4 }{(2n+2)\cdot (2n+1) }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(1-\frac{4n^2+8n+4 }{4n^2+6n+2 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(\frac{4n^2+6n+2-4n^2-8n-4 }{4n^2+6n+2 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(\frac{-2n-2 }{4n^2+6n+2 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(\frac{-n-1 }{2n^2+3n+1 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty}  \bigg(\frac{-n^2-n }{2n^2+3n+1 }\bigg)=-\frac{1}{2} \text{Como es <1, la serie es divergente}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

b) CONVERGENTE, fijate que cos(n PI) se va alternando entre 1 y -1, por lo que esa serie es lo mismo que

$$\begin{align}&\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n-1}\\&\text{Que la podés pensar como}\\&\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{1}{2n-1}\\&\text{Que por criterio de Leibnitz podrás ver que converge}\end{align}$$

c) dependerá del valor de 'a'

Sí 'a' < 1 tienes una serie Geométrica convergente (porque la razón es (r+a)/(r+1) que es menor que 1)

Si 'a' >=1 la serie será divergente

Salu2

Como has sabido que criterio aplicar en cada apartado, hay alguna forma o es ir solo probando las que más convenga. Gracias de antemano