Como saber que tipo de serie es una serie numérica

Mi pregunta es como puedo saber que tipo de serie tengo que aplicar. Los ejercicios son los siguientes:

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a) DIVERGENTE, para esto veamos el criterio de D'Alembert

$$\begin{align}&\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2 \cdot 4^{n}}{(2n)!}}=\\&\frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1} \cdot (2n)!}{(2(n+1))!\cdot (n!)^2 \cdot 4^{n}} = \\&\frac{(n+1)! \cdot (n+1)! \cdot 4 }{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (n!)^2 } = \\&\frac{(n+1) \cdot (n+1) \cdot 4 }{(2n+2)\cdot (2n+1) } = 1 \ (n \to \infty)\\&\text{Por este criterio no podemos decir nada...}\\&\text{Veamos por Criterio de Raabe}\\&\lim _{n \to \infty} n \cdot \bigg(1- \frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg) = \lim_{ n \to \infty} n \cdot \bigg(1- \frac{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2 \cdot 4^{n}}{(2n)!}}\bigg) = \\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(1 - \frac{((n+1)!)^2 \cdot 4^{n+1} \cdot (2n)!}{(2(n+1))!\cdot (n!)^2 \cdot 4^{n}} \bigg)  = \\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(1-\frac{(n+1) \cdot (n+1) \cdot 4 }{(2n+2)\cdot (2n+1) }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(1-\frac{4n^2+8n+4 }{4n^2+6n+2 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(\frac{4n^2+6n+2-4n^2-8n-4 }{4n^2+6n+2 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(\frac{-2n-2 }{4n^2+6n+2 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} n \cdot \bigg(\frac{-n-1 }{2n^2+3n+1 }\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty}  \bigg(\frac{-n^2-n }{2n^2+3n+1 }\bigg)=-\frac{1}{2} \text{Como es <1, la serie es divergente}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

b) CONVERGENTE, fijate que cos(n PI) se va alternando entre 1 y -1, por lo que esa serie es lo mismo que

$$\begin{align}&\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n-1}\\&\text{Que la podés pensar como}\\&\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{1}{2n-1}\\&\text{Que por criterio de Leibnitz podrás ver que converge}\end{align}$$

c) dependerá del valor de 'a'

Sí 'a' < 1 tienes una serie Geométrica convergente (porque la razón es (r+a)/(r+1) que es menor que 1)

Si 'a' >=1 la serie será divergente

Salu2

Como has sabido que criterio aplicar en cada apartado, hay alguna forma o es ir solo probando las que más convenga. Gracias de antemano

El b) salió 'fácil' porque es el que habíamos estado revisando en la otra pregunta (solo bastaba saber que cos(n pi) es 1 o -1). La c) también era más o menos sencilla si sabés que la serie geométrica converge siempre que la razón sea menor a 1, la única realmente "difícil" fue la a) y por eso te dejé el razonamiento que tuve.

Primero probé con D' Alembert, que a mi criterio es uno de los más sencillos, cuando vi que no funcionó me quedaba la opción del criterio de la raíz, pero vi que la serie no era muy amigable para usar ese criterio, así que empecé a investigar y ahí encontré el criterio de Raabe (que explicitamente aclaran que solo hay que usarlo cuando D'Alembert falla, que fue como sucedió)

A propósito, te dejo el link de donde saqué la información...

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente 

Salu2

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