Optimización por multiplicadores de Lagrange
Hola, espero tengan una buena tarde. La siguiente duda es sobre un problema de optimización por Lagrange la cual no consigo obtener los resultados, me pide que intente el ejercicio tantas veces como quiera según el tipo de letra que use, pero no he podido siquiera plantear la fórmula inicial que es lo que me hace falta para empezar.
Sea n el número de hojas del libro
z = 0.005 n + 0.1
200z = n + 20
Superficie util de escritura = (x-4)(y-4)
cantidad de caracteres en cada página = a(x-4)(y-4)
Datos:
a(x-4)(y-4)n = 500 000
-> a(x-4)(y-4)(200z-20) = 500 000
-> a(x-4)(y-4)(10z-1) = 25 000
función a minimizar: f(x,y,z) = x + y + pz
Solución
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Función de Lagrange: L(x,y,z,w) = x + y + pz - w[a(x-4)(y-4)(10z-1) - 25 000]
*primeras derivadas:
L_x = 1 - wa(y-4)(10z-1) = 0 ----------------> wa(y-4)(10z-1) = 1
L_y = 1 - wa(x-4)(10z-1) = 0 ----------------> wa(x-4)(10z-1) = 1
L_z = p - 10wa(x-4)(y-4) = 0 ----------------> 10wa(x-4)(y-4) = p
L_w = -[a(x-4)(y-4)(10z-1) - 25 000] = 0 ----> a(x-4)(y-4)(10z-1) = 25 000
x = 5[20p/a]^{1/3}
y = 5[20p/a]^{1/3} + 4
z = 1/10 + 5 [20/(ap)]^{1/3}
w = [20p/a]^{1/3} / 5000
*Segundas derivadas
L_xx = 0 L_yz = -10wa(x-4) L_zz = 0
L_xy = -wa(10z-1) L_yw = -a(x-4)(10z-1) L_zw = -10a(x-4)(y-4)
L_xz = -10wa(y-4) L_yy = 0 L_ww = 0
L_xw = -a(y-4)(10z-1)
D^2 L = 2(L_xy dx dy + L_xz dx dz + L_xw dx dw + L_yz dy dz + L_yw dy dw + L_wz dw dz) < 0
Por ende los puntos hallados son de máximoTe dejo una guía
Hola, muchísimas gracias!!! Mi única duda es si se puede colocar la incógnita "n" en vez de "z" y preguntar el porqué "w" se encuentra restando en lugar de sumando en la ecuación de L.
Espero su respuesta y muchas gracias de nuevo.
PD: Está bien que de un máximo en vez de un mínimo?
Si puedes colocar "n" en lugar de z.
El signo - o + en w es irrelevante
El problema para aplicar el criterio de la matriz Hessiana es que todas las segundas derivadas de f son nulas. En este caso debemos ver si las ecuaciones de enlace o el dominio en la que se define previamente a f es compacta, siendo así aplicamos el teorema de Weierstrass, es decir que los extremos de f deben estar en la frontera de su dominio. Para obtener un dominio compacto se deben definir los intervalos a los cuales pertenece x & y, o sea
$$\begin{align}&h_1 \leq x\leq h_2\\&\\&l_1\leq y\leq l_2\\&\\&a(x-4)(y-4)(10z-1)=25000\end{align}$$Lo que te dan en la figura de abajo "Formatos de libro".
