Anónimo
Polinomio de taylor y calculo de error
Ejercicio:
Estimar sen 1 usando el quinto polinomio de Taylor en x0 = 0. Hallar una cota del error cometido.
1 respuesta
¿Qué propones como solución? Recuerda que las derivadas del sen/cos se van alternando y cambiando de signo, o sea
f(x) = sen(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sen(x)
f'''(x) = -cos(x)
f''''(x) = sen(x)
f'''''(x) = cos(x)
f''''''(x) = -sen(x)
y que para x=0, sen(x) = -sen(x) =0, por lo que de todas las de arriba sobreviven las derivadas impares.
Además tenemos que la cota del error de Taylor, viene dada por la expresión:
$$\begin{align}&R_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} ..........(\psi \in (a,x))\\&\text{En este caso a = 0, por lo que la expresión se reduce a:}\\&\frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!} (x)^{n+1}\\&\text{Además sabemos que el coseno estará (en módulo) entre 0 y 1, por lo tanto:}\\&\frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!} (x)^{n+1} \le \frac{1}{(n+1)!} x^{n+1}\\&Como \ x=1, finalmente\ queda\\&\frac{1}{(n+1)!} x^{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}\end{align}$$Te dan el grado del polinomio de Taylor, así que para el error, solo te queda hacer un par de cuentas de la expresión anterior...
Salu2
Buenas no consigo entenderlo. Puede ayudarme con este ejercicio que es parecido. Me pide Calcular el valor correcto con cuatro cifras decimales de:
a) e^(-0.2)
b) ln 0.8
¿Entendiste el primero? Porque es básico para todo lo que viene.
En estos momentos me estoy desconectando, mañana veo de hacerte el a), pero por lo pronto te diría que consideres:
f(x) = e^x
todas las derivadas serán obviamente e^x
y estaremos aproximando en a=0, por lo que la función y todas las derivadas serán e^0 = 1...
Mañana te termino este ejercicio, revisa bien el primero y te dejaré de tarea el b) respecto al logaritmo
Buenas para el primer ejercicio del sen 1 las soluciones sale que el resultado es: sen 1= 1 − 1/ 3! + 1 /5! con |E| < 1 /6!, pero nose como lo ha calculado.
Para el segundo ejercicio al aproximar en a=0 mi solución es diferente a la de la relación. Te pongo la solución de la relación para e^0.2 Solución: 1 − 1 /5 + 1 /(2! · 5^2) − 1/ (3! · 5^3) + 1/ (4! · 5^4)
Lo primero que debes saber es la fórmula general del polinomio de Taylor
$$\begin{align}&P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(f)\\&Donde\\&R_n(f)=\frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} ...(\psi \in (a,x))\\&\text{Así, para el primer ejercicio te quedaría}\\&P_n(x) = \sum_{k=0}^5 \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(f)\\&\text{Que si lo desarrollas, llegas a lo que estás planteando.}\\&\text{Para el segundo, lo primero que hay que hacer es ver cuantos términos hay que hallar (acotar el error)}\\&\text{Así que partimos de la expresión de }R_n\\&Queremos \ que\\&|R_n| \le 10^{-4}\\&\bigg|\frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \bigg| = \bigg|\frac{e^\psi}{(n+1)!}(-0.2)^{n+1} \bigg| ........(\psi \in (-0.2, 0))\\&=\bigg|\frac{e^\psi}{(n+1)!}(0.2)^{n+1} \bigg| = \frac{e^\psi}{(n+1)!}(\frac{1}{5})^{n+1} \\&\text{La función }e^x \text{, es una función creciente por lo que el máximo estará a la derecha del intervalo, por}\\&\text{lo que podemos acotar la expresión anterior por}\\&\le \frac{e^0}{(n+1)!}(\frac{1}{5})^{n+1} = \frac{1}{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}\\&\text{y queremos que eso tenga 4 dígitos decimales, así que hacemos}\\&\frac{1}{(n+1)! \cdot 5^{n+1}} \le 10^{-4}\\&Despejando...\\&10^4 \le (n+1)! \cdot 5^{n+1}\\&\text{Acá no hay mucha ciencia, hay que darle valores a n y ver si se cumple la condición, yo empiezo con n=5}\\&n=5 ...\text{El termino de la derecha es }1.13x10^7 \text{Me pasé, así que uso n más chicos...}\\&n=4...3.75x10^5\\&n=3...1.50x10^4\\&n=2...7.50x10^2\\&\text{Vemos que n debe ser 3, lo que dice que tenemos que realizar Taylor hasta la tercer derivada}\\&P_3(x) = \sum_{k=0}^3 \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k \\&\text{Sabemos que la función y todas las derivadas es 1 en a=0, así que}\\&P_3(x)=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\\&Acomodando...\\&P_3(x)=1 + x + \frac{x^2}2+\frac{x^3}6\\&P_3(-0.2) = 1 -0.2 + \frac{(-0.2)^2}2+\frac{(-0.2)^3}6 = 0.81866\overline{6}\\&\text{Si haces el ejercicio con la calculadora, te da 0.81873 por lo que la diferencia es }6.41x 10^{-5}\\&\text{y efectivamente es correcto con 4 dígitos decimales}\end{align}$$y eso es todo en esta pregunta.
Cualquier duda haz una nueva pregunta, porque ya me extendí demasiado en esta.
Salu2