A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales 2y''-4y=cos (t);y(0)=-1,y'(0)= -1

Primero resuelves la ecuación homogénea para tener la solución particular usando el polinomio característico

$$\begin{align}&2y''-4y=0\\&\\&2r^2-4=0\\&r^2=2\\&r=\pm \sqrt{2}\\&\\&y_p=C_1 e^{\sqrt{2}t}+C_2e^{-\sqrt{2}t}\\&\end{align}$$

Ahora para hallar la solucion general usaremos el metodo de coeficientes indeterminados, debemos ver lo que se encuentra a la derecha de la ecuacion, vemos que es un coseno por lo que asumimos que la solucion es de la forma Asen t+B cos t donde A y B son valores que debemos encontrar

$$\begin{align}&y=A \sin t + B \cos t\\&y'=A \cos t - B \sin t\\&y''= -A \sin t - B \cos t\\&\\&\text{ Sustituimos esto en la ecuacion}\\&2( -A \sin t - B \cos t)-4(A \sin t + B \cos t)=\cos t\\&\cos t (-2B-4B)+\sin t (-4A-2A)=1 \cos t\\&\text{Para que ambos lados sean iguales los numeros que acompanan}\\&\text{al seno y al coseno en ambos lados ddeben ser iguales}\\&-2B-4B=1\\&-4A-2A=0\\&A=0\\&B=\frac{-1}{6}\\&y_g=\frac{-1}{6}\cos t\\&\\&\\&y=y_p+y_g\\&y=C_1e^{\sqrt{2}t}+C_2e^{-\sqrt{2}t}-\frac{1}{6}\cos t\\&\end{align}$$

Y bueno puedes hallar los valores de c1 y c2