Como resuelvo lo siguiente? Física
El chofer de un vehículo va a una velocidad de 108 km/h cuando ve delante de él, a una distancia de 40 m, otro vehículo que va a una velocidad de 72 km/h; en ese instante, a fin de evitar la colisión, frena con aceleración de 1 m/s^2, mientras que el chofer del otro vehículo acelera a razón de 1,5 m/s^2.
a) Usando las ecuaciones de movimiento relativo determinar la mínima distancia entre ellos
b) ¿Cuál es el espacio recorrido por cada uno de los vehículos desde que el primero ve al segundo hasta la distancia mínima?
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Pues armemos primero ambas ecuaciones y veamos si llegamos a algo de lo que piden...
$$\begin{align}&108Km/h = 30 m/s\\&72Km/h = 20m/s\\&\text{Sea A, el vehículo que va 108 km/h y B el otro...}\\&x_A = 30m/s \cdot t - \frac{1}{2}\cdot 1m/s^2 \cdot t^2\\&x_B = 40m + 20m/s \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 1.5 m/s^2 \cdot t^2\\&\text{Saco las unidades de medida (solo por claridad) y simplifico lo que puedo}\\&x_A = 30 t - \frac{t^2}{2}\\&x_B = 40 + 20 t + \frac{3t^2}{4}\\&\text{Solo por seguridad, voy a ver si en algún momento se cruzan ambos vehículos (la distancia mínima sería 0)}\\&x_A=x_B\\&30 t - \frac{t^2}{2} = 40 + 20 t + \frac{3t^2}{4}\\&0 = 40 - 10t + \frac{5}{4} t^2\\&t_{1,2} = 4 \pm 4i\\&\text{Efectivamente la solución es compleja porque nunca llegan a cruzarse, veamos ahora la distancia mínima}\\&\text{Para eso planteamos una nueva función que sea la diferencia entre ambas expresiones}\\&f(t) = x_B - x_A=(40+20t+\frac{3}{4}t^2) - (30t - \frac{1}{2}t^2) = 40 - 10t + \frac{5}{4}t^2\\&\text{Para buscar máx/min, procedemos a derivar la función}\\&f'(t) = -10 + \frac{5}{2}t\\&f'(t)=0 = -10 + \frac{5}{2}t \to t = 4\\&f''(t)=\frac{5}{2} \text{ (la derivada segunda es positiva, por lo que el valor hallado antes es mínimo)}\\&\text{Sabemos que la distancia mínima será a los 4 segundos, ahora veamos las preguntas}\\&a) f(4) = \text{te dejo las cuentas}\\&\\&b)\\&x_A(4)= \text{te dejo las cuentas}\\&x_B(4) =\text{te dejo las cuentas}\\&\end{align}$$Salu2