Como solucionar integral por sustitución trigonométrica
Intente resolver el siguiente ejercicio:
$$\begin{align}&\int \frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-16}}\\&\end{align}$$Pero me da un resultado distinto; hice la sustitución del
$$\begin{align}&x\:=4\sec \left(\theta \right)\end{align}$$Llegando a:
$$\begin{align}&\frac{1}{64}\left(\frac{1}{2}\left(\theta +\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)\right)\right)\end{align}$$Y de la siguiente forma puse el triangulo ya que si bien recuerdo SEC= Hipotenusa/adyacente Estoy poniendo bien el triangulo creo que lo de los triangulos me esta costando un poco....
Respuesta de Alejandro Salazar
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Voy a resolver la integral usando esa sustitución, veremos si me da el mismo resultado que a ti, o el del libro(o donde sea que este la respuesta), si no es la misma que la del libro, dime cual es(Lo más probable es que haya usado alguna identidad trigonométrica)
$$\begin{align}&\int \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2-16}}dx\\&x=4 \sec u\\&dx=4\sec u \tan u \, du\\&\int \frac{4\sec u \tan u}{(4 \sec u)^3\sqrt{16\sec^2 u -16}}du=\int \frac{\tan u}{16 \sec^2 u \sqrt{16 \tan^2 u}}du=\\&\text{NOTA: El tan^2 se iria con la raiz y quedaria en valor absoluto; pero olvidemonos de eso y pensemos que sale positivo}\\&\frac{1}{64}\int \frac{1}{\sec^2u}du=\frac{1}{64}\int \cos^2 u \,du=\frac{1}{64}\int \frac{1}{2}(1+\cos 2u) du=\\&\frac{1}{128} \bigg(u+\frac{1}{2}\sin 2u \bigg)+C=\frac{1}{128} \bigg(u+\sin u \cos u\bigg)+C\end{align}$$Llegamos a la misma integral, ahora haciendo uso del triangulo que has hecho(que esta bien dibujado)
$$\begin{align}&x=4 \sec u\\&u=arcsec \frac{x}{4}\\&\\&\sin u=\frac{C.O}{Hip}=\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}\\&\cos u=\frac{C.A}{Hip}=\frac{4}{x}\\&\\&\int = \frac{1}{128}\bigg(arcsec \frac{x}{4}+\frac{4\sqrt{x^2-16}}{x^2}\bigg)+C\end{align}$$
