Problema de incógnitas en una Circunferencia
¿Me pueden ayudar con el siguiente ejercicio? Desde ya gracias.
Determine ¨k¨ e lR, para que la ecuación
$$\begin{align}&4x^2-8x+k^2+4y^2-16=0\end{align}$$represente una circunferencia con Radio mayor que 2.
La expresión general de la circunferencia es
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Donde (a, b) es el centro de la circunferencia, r su radio
Para lo que tu tienes vamos a completar cuadrados para tratar de llevar esa expresión a algo parecido a lo que escribí más arriba.
Para empezar fijate que pasa cuando intentamos completar cuadrados en tu expresión:
4x^2 - 8x + k^2 + 4y^2 - 16 = 0
(2x - 2)^2 - 4 + k^2 + (2y)^2 - 16
Como ves, las variables 'x', 'y' no están solas sino que están acompañadas de un término (2), eso nos da la sensación que vamos a tener que dividir toda la expresión, para que tanto 'x' como 'y' queden sin términos que la multipliquen, para eso, voy a dividir toda tu expresión por 4.
4 (x^2 - 2x + k^2/4 + y^2 - 4) = 0
Paso el 4 dividiendo y directamente tenemos
x^2 - 2x + k^2/4 + y^2 - 4 = 0
Veamos ahora que podemos hacer con esa expresión, completando cuadrados
(x-1)^2 - 1+ k^2/4 + y^2 - 4 = 0
Acomodando la expresión
(x-1)^2 + y^2 = 5 - k^2/4
Sabemos que
5 - k^2 / 4 representa el radio al cuadrado (digamos r^2) y que además nos piden que r sea mayor que 2, por lo tanto esa expresión debe ser mayor que 4 (r^2)
5 - k^2 / 4 > 4
5 - 4 > k^2/4
4 > k^2
|k| < Raiz(4) = 2
O sea es el intervalo entre [0, 2) (si fuese menor o igual el 2 estaría incluido)
En ese intervalo hay infinitas soluciones, veamos las 2 soluciones para k entero
k=0 --> (x-1)^2 + y^2 = 5
k=1 --> (x-1)^2 + y^2 = 5 - 1/4
Salu2