¿Es el conjunto de todas las matrices de tamaño n por n cuya traza es igual a cero un subespacio del conjunto𝑀𝑛×𝑛(ℝ)?

La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal. Si la traza es cero la suma de todos los elementos de la diagonal es cero.

La matriz llena de ceros se encuentra. Ya que cumple las condiciones de que su traza es cero

Ahora tomamos dos matrices a y b que cumplan que su traza es cero

Digamos que la traza(a)=a11+a22+a33+...+ann

Y que la traza(b)=b11+b22+b33+...+bnn

Entonces la traza de la matriz a+b es

(a11+b11)+(a22+b22)+...+(ann+bnn)

Es una suma, podemos reordenar términos

(a11+a22+...+ann)+(b11+b22+...+bnn) Y vimos que eran cero.

Por lo que traza(a+b)=0+0=0

Que también se encuentra

Solo queda demostrar que c.A se encuentra también en el subespacio donde c es un escalar y a una matriz que tenga traza cero

tenemos una matriz a de traza =a11+a22+a33+...+ann=0

c.A=ca11+ca22+ca33+...+cann

Sacando factor común c,  

cA=c(a11+a22+a33+...+ann)=c.0=0

Si es un subespacio entonces.